Физика атомного реактора Сопротивление материалов Математика решение задач Информатика Атомная энергетика безопасность Электротехника и электроника Ручные вычисления по методу Гаусса

Вычислительная математика

Метод простых итераций

Данный метод относится к приближенным методам решения систем линейных уравнений. Для его применения необходимо преобразовать исходное уравнение АХ=В к эквивалентному виду Х=АХ+В, (9.1)

где матрица А и вектор В не те, что были в исходной задаче, и должны удовлетворять некоторым условиям, чтобы метод итераций давал последовательность векторов, сходящуюся к решению. Ясно, что для такого преобразования матрица А должна быть квадратной.

Упражнение 9.1. Обоснуйте.

Мы будем рассматривать уравнение (9.1) при условии, что его решение существует и единственно, т.е. будем рассматривать только корректную задачу.

Упражнение 9.2. Сформулируйте краткое математическое условие на матрицу А, при котором уравнение (9.1) имеет единственное решение для любого вектора В.

Так же, как метод итераций для обычных уравнений и метод Пикара для дифференциальных уравнений, метод простых итераций для систем линейных уравнений является следствием из общего принципа сжимающих отображений.

Условия применимости метода простых итераций. Транспонирование матрицы. Свойства транспонирования.

Рассмотрим отображение n-мерного евклидова пространства в себя, заданное формулой: Y=AX+B, где А- матрица размерности nхn, X,B,Y ÎRn. Главный вопрос применимости метода заключается в следующем: в каком случае это отображение будет сжимающим, т.е. существует некоторое число q, 0<q<1, такое что при всех х1 и х2 справедливо:

 

Что надо потребовать от матрицы А, чтобы выполнялось это условие?

Приведем несколько достаточных условий. Для этого вспомним, что основными нормами в пространстве Rn являются

1. , где x=(x1,x2,...,xn)

2.

3. , где i=1,2,...n

Рассмотрим в исходном пространстве векторов норму  и оценим норму  оператора преобразования Y=AX+B через элементы матрицы А.

Оценивать норму мы будем в два этапа: 1. Сначала оценим i-ую компоненту вектора y1-y2.

2. Затем оценим норму всего вектора y1-y2.

Возьмем i-ую компоненту вектора y1-y2 и оценим сверху эту разность по модулю.

Далее уже легко оценить и норму разности векторов y1-y2:

, где максимум берется при всех i=1,2,…,n

Следствие. Если =мах <1, (i=1,2,…,n), то отображение Y=AX+B сжимающее.

Задача. Доказать, что для двух других норм в исходном пространстве получим:

, и , где максимум берется при всех j=1,2,…,n.

Если при этом хотя бы одно из этих чисел меньше 1, то отображение сжимающее.

Метод Лобачевского-Греффе для случая комплексных корней

Рассмотрим теперь случай когда среди корней уравнения (1.3) содержаться одинаковые по модулю, тогда из предположения, что уравнение (1.3) не содержит кратных корней, следует, что если , то  и – коплексно-сопряженные.

Характерным признаком этого является тот факт, что при квадрировании корней коэффициент при  в уравнении (1.25), меняет знак, так как при наличии лишь действительных корней все коэффициенты преобразованных уравнений неотрицательны.

Согласно общей теории отделенных корней [1] корни  и , соответствующие комплексным корням  и , приближенно удовлетворяют квадратному уравнению

.

Откуда получаем модули корней по формуле

  (1.27)

Относительную погрешность модуля найденного по формуле (1.27), без учета погрешности округлений при преобразованиях многочлена, можно оценить следующей величиной [2]

, (1.28)

где

Комплексные корни можно найти воспользовавшись первым и последним равенством из системы (1.7). Откуда

, (1.29)

.  (1.30)

Тогда  и   находятся из квадратного уравнения

.  (1.31)

Описание метода простых итераций. Вернемся теперь к решению системы линейных уравнений, преобразованной к виду (9.1). Решить систему - значит найти неподвижную точку Х такую, что если подставить ее координаты в правые части уравнений (9.1), то получим ту же точку Х.

Случай диагонального преобладания. Если в исходной системе все элементы, стоящие на главной диагонали, по модулю больше, чем сумма модулей остальных элементов в этой же строке (столбце) матрицы А, то для приведения к нужному виду в левой части оставляют только диагональные элементы, а остальные переносят в правую часть и каждое уравнение делят на диагональные элементы.

Какова скорость сходимости последовательности векторов к решению?

Численные методы решения экстремальных задач Постановка задачи.

Метод равномерного поиска. Этот метод основан на том, что переменной  присваиваются значения  c шагом h =const (шагом поиска), где i=0,1,2,… и вычисляются значения  в соседних точкаx. Если , то переменной дается новое приращение.

Метод квадратичной интерполяции Этот метод основан на замене в промежутке квадратичной параболой, экстремум которой вычисляется аналитически.

Упражнение 7. Найти наименьшее n, начиная с которого точность метода золотого сечения больше точности метода деления отрезка пополам в 2 раза, в 10 раз.Упражнение 8. Написать алгоритм описанного метод.

Численное интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных Классификация уравнений в частных производных. Определение дифференциального уравнения в частных производных. Порядок и решение дифференциального уравнения. Постановка задачи. Понятие смешанной краевой задачи. Параболические, гиперболические и эллиптические уравнения в частных производных. Метод сеток при решении задач с дифференциальными уравнениями в частных производных.
Элементы математической статистики