Физика атомного реактора Сопротивление материалов Математика решение задач Информатика Атомная энергетика безопасность Электротехника и электроника Ручные вычисления по методу Гаусса

Вычислительная математика

Суть и обоснование метода итераций.

Суть метода итераций заключается в построении рекуррентной последовательности чисел, сходящейся к решению, по формуле хк+1 = u(xк), к=0,1,2,..., где х0Î[a,b] -произвольная точка.

Справедливость метода обосновывает следующая ТЕОРЕМА:

Пусть на [a,b] задана функция u(x), удовлетворяющая условиям а) и б), а х0 - произвольная точка отрезка [a,b], причем уравнение x=u(x) имеет корень. Тогда последовательность {Xк}, построенная по формуле хк+1 = u(xк) сходится к решению не медленнее, чем геометрическая прогрессия со знаменателем q.

Доказательство: Сравним расстояния от точек хк+1 и xк до решения (обозначим его С), используя теорему Лагранжа:

| хк+1-С| = |u(xк)- u(C)| = | (хк-с) u'(у)|<= |(хк-с)|* max | u'(x) | = q |(хк-с)|,

что и требовалось доказать.

Замечание 1. Требование существования корня приведено в теореме лишь для простоты доказательства.

Замечание 2. Теорема является одним из частных случаев применения принципа сжимающих отображений, который часто применяется в самых разных вопросах многих точных наук.

Условие окончания вычислений в методе итераций. Теорема о разложении: Определитель равен сумме парных произведений элементов какого-либо ряда (строки или столбца) его на их алгебраические дополнения.

Замечание 3. Процесс построения последовательности следует обрывать, когда станет верным неравенство |хк+1-хк|< e*(1-q)/q. В этом случае хк+1 и дает приближение к решению с требуемой точностью.

Упражнение 1.12. Доказать, что в условиях теоремы из неравенства |хк+1-хк|< e*(1-q)/q вытекает неравенство |хк+1-с|< e.

Упражнение 1.13.Составить алгоритм и программу на одном из языков для решения уравнений методом итераций.

Сравнение различных методов.

Сравнение методов обычно производится по следующим критериям:

1.Универсальность.

2.Простота организации вычислений и контроля за точностью.

3.Скорость сходимости.

Если сравнить три приведенных выше метода, то следует отметить, что

1) Самым универсальным является метод половинного деления, поскольку он применим для любой непрерывной функции. Однако и в двух других методах ограничения не слишком жесткие и, обычно, на практике можно применять любой метод.

2) Все три метода примерно одинаковы и очень просты.

3) Скорость сходимости в методе половинного деления -геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2 , в методе итерации -со знаменателем q, а метод Ньютона, как правило, дает сходимость со скоростью, превышающей скорость сходимости любой геометрической прогрессии. Во всех случаях скорость сходимости очень высока.

Численное дифференцирование. Постановка задачи численного дифференцирования. Дифференцирование интерполяционного многочлена Ньютона. Применение ряда Тейлора для численного дифференцирования. Природа неустранимой погрешности формул численного дифференцирования.
Элементы математической статистики