Физика атомного реактора Сопротивление материалов Математика решение задач Информатика Атомная энергетика безопасность Электротехника и электроника Ручные вычисления по методу Гаусса

Вычислительная математика

Содержание лабораторной работы.

Ответить на вопросы контролирующей программы.

Решить. предложенный вариант задачи графическим способом

Решить предложенный вариант задачи симплекс-методом, используя графическое решение для контроля правильности вычислений.

Составить, отладить и протестировать на контрольных примерах программу решения задачи линейного программирования симплекс-методом.

Составить отчет, содержащий цель и назначение работы, постановку задачи и текст программы. Данное пособие является составной частью учебного комплекса по курсу высшей математики, которое может быть полезно для организации учебного процесса на факультете дистанционного обучения при самостоятельной подготовке студентов к экзаменам. Оно поможет без помощи преподавателя организовать планомерное изучение материала не только основных понятий и положений теории, но и основных приемов и методов решения задач.

Элементы математической статистики

Процесс познания окружающего нас мира включает наблюдение и эксперимент. Результаты наблюдений во многих случаях можно представить последовательностью действительных чисел .

 Для того, чтобы из ряда наблюдений можно было извлечь полезную информацию, необходимо иметь модель явления. Вероятностные модели оказываются наиболее пригодными при анализе явлений, исходы которых обладают некоторой степенью неопределенности. Понятие неопределенности в теории вероятностей формализуется путем введения распределения вероятностей на множестве . В простейшем случае, когда конечное или счетное множество, задаются вероятности всех его элементов , так что и .

 Любое множество называют в этом случае событием, а его вероятность определяют формулой .

 Взаимоотношение явления и его вероятностной модели имеет статистический характер, то есть обнаруживается при повторных наблюдениях за явлением. Частоты исходов в длинном ряду испытаний стабилизируются, их колебания с ростом числа испытаний уменьшаются. Это эмпирический факт, называемый законом устойчивости частот, наблюдается в самых различных ситуациях. Уже выходя за пределы реального опыта, полагают, что при неограниченном повторении частоты стремятся к пределам, которые и принимают за вероятности соответствующих исходов или событий.

Метод Бернулли

Метод Бернулли [2] позволяет найти наибольший и наименьший по модулю корень алгебраического уравнения, но и несколько ближайших к нему (по модулю) корней.

Вычисления по методу Бернулли сводятся в основном к построению некоторой последовательности чисел , для построения которой выбираются вначале некоторые, вообще говоря, произвольные значения . После этого значения  вычисляются с помощью рекуррентной формулы:

Далее по виду последовательности определяется вид наибольшего (наименьшего) по модулю корня и значение этого корня.

Далее после того, как наибольший корень вычислен с достаточной степенью точности, определяется второй по величине модуля корень. Для второго корня строиться новая последовательность , вид которой определяется на основании типа сходимости последовательности построенной для предыдущего корня.

После того как найден второй по модулю корень, аналогично находятся третий и последующие корни.

Пусть погрешность округления во всех вычислениях постоянна и равна . Тогда относительная погрешность первого корня равна [2]

, где .

Потеря точности для последующих корней может быть значительно больше.

Таким образом, метод Бернулли обладает очень простой вычислительной схемой. Основные вычисления сводятся к повторению операции накопления, что делает метод удобным для вычисления на ЭВМ. Но с другой стороны для реализации метода необходим более сложный, чем для метода Лобачевского–Греффе, логический аппарат, определяющий тип сходимости последовательности . Кроме того, корни в методе Бернулли определяются не все сразу, а один или несколько наибольших (наименьших) по модулю корней, что приводит к потере точности для остальных корней.

Генеральная совокупность. Выборка. Статистические ряды

Графическое изображение вариационных рядов. Эмпирическое распределение

Средняя арифметическая и ее свойства - средняя арифметическая является центром распределения, вокруг которого группируются все варианты статистической совокупности..

Свойства дисперсии Свойство 1. Если каждую варианту совокупности уменьшить или увеличить на одно и тоже постоянное число А, то дисперсия не изменится.

Законы распределения случайных величин Между отдельными значениями варьирующих признаков и частотой их встречаемости в генеральной совокупности существует определенная связь (это наглядно можно увидеть на графике зависимости частот от значения вариат).

Статистические гипотезы Величина отклонения выборочного показателя от его генерального параметра называется статистической ошибкой этого показателя или ошибкой репрезентативности.

Теперь рассмотрим гипотезу о равенстве дисперсий исходных генеральных совокупностей. В рассмотрении участвуют две выборки и их параметры: объем выборки и дисперсия (и для первой выборки и и для второй).

Связь математической статистики с теорией вероятности. В чем заключается закон устойчивости частот?

Аппроксимация (от лат. approximo - приближаюсь), замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаются диофантовы приближения, в частности приближения иррациональных чисел рациональными. В геометрии и топологии рассматривается Аппроксимация кривых, поверхностей, пространств и отображений. Роль Аппроксимации в математике непрерывно возрастает. В настоящее время Аппроксимация может рассматриваться как одно из основных понятий математики.
Элементы математической статистики