Физика атомного реактора Сопротивление материалов Математика решение задач Информатика Атомная энергетика безопасность Электротехника и электроника Ручные вычисления по методу Гаусса

Вычислительная математика

Интерполирование функций

При решении большинства вычислительных задач приходиться иметь дело с функциями, заданными таблично, а не аналитически. В этом случае дополнительные вопросы возникают даже тогда, когда надо определить значение функции в определенной точке. Как правило, эта задача носит вспомогательный характер, но сейчас мы ее рассмотрим как самостоятельную.

Постановка задачи интерполирования.

На отрезке (a, b) в n+1 точке (узлах интерполяции) a=X0 < X1 < X2 <...< Xn=b

заданы значения Yi функцииY=f(X). Требуется подобрать вспомогательную функцию j(x) (интерполяционную функцию или интерполянту) простого вида, для которой:

j(Xi)=Yi при i=0,1,2,3,...,n

j(X)»f(X) при всех остальных значениях XÎ[a,b]. Курс лекций по математике Вычислить определитель матрицы Решение дифференциальных уравнений

Основной целью процесса интерполирования является получение быстрого и экономичного алгоритма вычисления приближенного значения функции во всех точках отрезка [a,b].

Формулировка задачи не является строго математической, поскольку в нее входят, например, слова "функция простого вида", или j(X)»f(X). Главные вопросы здесь -как выбрать интерполянту и как оценить точность приближения функции f(X) на отрезке [a,b].

Ответ на вопрос о точности, без каких-либо дополнительных ограничений на функцию f(X), дать нельзя, поскольку легко привести примеры совершенно непохожих друг на друга непрерывных функций, которые задаются таблично одинаковым способом. Поэтому при оценке точности налагаются ограничения на гладкость функции, что мы и увидим позже.

Рассмотрение вопроса о виде интерполирующей функции j(X) привело к созданию целой теории приближений, весьма сложной и большой по объему. Поэтому мы ограничимся рассмотрением лишь простейших случаев: линейной интерполяции и интерполяции многочленами.

Линейная интерполяция.

При линейной интерполяции строится ломаная, которая проходит через точки (Xi;Yi), i=0,1,2,...,n, т.е. совпадающая с искомой функцией в узлах интерполирования и линейная на каждом участке(Xi;Xi+1) при i=0,1,2,...,n-1.

Ясно, что при Xi<=X<=Xi+1 значения построенной функции j(X) будут вычисляться по формуле j(X)=Yi+(X-Xi) (Yi+1 -Yi)/(Xi+1 -Xi).

Упражнение 2.1 Составить программу для определения значения функции при линейной интерполяции.

Если сетка узлов достаточно плотная на отрезке [a,b], а функция f(X) гладкая, то точность этого метода вычисления приближенного значения функции f(X) вполне удовлетворительна, поэтому в инженерной практике метод линейной интерполяции весьма распространен. Однако, при решении других задач, таких, как задача численного дифференцирования, погрешности данного метода многократно возрастают и перестают быть удовлетворительными.

Модификация метода Лобачевского–Греффе. Метод Бродетского–Смила

Пусть   – неопределенный параметр, малый настолько, что его первой степенью еще нельзя пренебрегать в вычислениях, а второй и более высокими степенями можно пренебрегать.

Для простоты предположим, что

  (1.32)

Разложим многочлен (1.3) по степеням :

.

Проделаем преобразования Лобачевского–Греффе над многочленом . Как легко доказать [2], коэффициенты многочлена, полученного после k-го преобразования, будут иметь следующий вид

.

Пусть  – корень однократного модуля. Тогда при достаточно малом   представляет собой корень однократного модуля многочлена . Его можно найти по формуле

При выполнении операций деления и извлечения корней над числами вида   можно пользоваться следующими формулами:

,

.

Тогда

, (1.33)

где

.

Так как , то приравнивая модули коэффициентов при , получим:

.

Заменяя  через , будем иметь .

Перепишем теперь равенство (1.33) в виде .

Из соотношения  следует, что при положительном  и положительном  . Из соотношения (1.33) видно тогда, что  должно быть отрицательным. Аналогично получаем, что при отрицательном  и положительном  должно быть , так что

.

Эта формула дает возможность вычислить корни однократного модуля без извлечения корней степени  и без неопределенности в знаке.

Рассмотрим теперь, как вычислить корни двукратного модуля ,  (по ранее сделанному предположению эти корни являются комплексно сопряженными). Для этого найдем квадратичный делитель , где

Численное дифференцирование. Постановка задачи численного дифференцирования. Дифференцирование интерполяционного многочлена Ньютона. Применение ряда Тейлора для численного дифференцирования. Природа неустранимой погрешности формул численного дифференцирования.
Элементы математической статистики