Физика атомного реактора Сопротивление материалов Математика решение задач Информатика Атомная энергетика безопасность Электротехника и электроника Ручные вычисления по методу Гаусса

Вычислительная математика

Интерполяция многочленом.

Единственность интерполяционного многочлена n-й степени.

Другой вариант интерполирования - искать функцию в виде многочлена степени n: Задача . Вычислить Решение. Для вычисления интеграла разложим подынтегральную функцию – дробь – в сумму простейших дробей.

j(X)=Pn(X)=CnXn+Cn-1Xn-1+..... +C1 X+C0

Условия совпадения значений интерполирующей функции в точках Xi с величинами Yi примет вид системы: C0+C1X1 +... +CnX1n=Y1

 C0+C1X2 +... +CnX2n=Y2

 C0+C1Xn +... +CnXnn=Yn

(n+1)-го линейного уравнения с n+1 неизвестным.

Поскольку определитель этой системы является определителем Вандермонда и все числа Xi различны, то он отличен от нуля и, следовательно, искомый многочлен существует и единственен. В данном случае, так же как и в предыдущем, снимаются основные сложности, связанные с проблемой оптимального выбора среди функций, удовлетворяющих условиям интерполяции в узлах, однако остается вопрос о точности приближения.

Построение вспомогательных многочленов Лагранжа.

Для того, чтобы записать интерполяционный многочлен в форме Лагранжа, сначала строят вспомогательные многочлены L0(X), L1(X),..., Ln(X), каждый из которых является многочленом степени n и удовлетворяет условиям:

, i, j = 0,1,2,..,n.

У каждого из вспомогательных многочленов, тем самым, мы знаем n корней, например, у L2(X) корнями являются X0, X1, X3 ..., Xn. Kaк известно, многочлен Li(X) по корням можно записать в виде

Li(X)=Ai(X-X0)...(X-Xi-1)(X-Xi+1)...(X-Xn)= Ai

Чтобы определить величину Ai, остается еще одно условие Li(Xi)=1, откуда:

. Алгоритм последовательной кластеризации.

 Рассмотрим Ι = (Ι1, Ι2, … Ιn) как множество кластеров {Ι1}, {Ι2},…{Ιn}. Выберем два из них, например, Ι i и Ι j, которые в некотором смысле более близки друг к другу и объединим их в один кластер. Новое множество кластеров, состоящее уже из n-1 кластеров, будет: {Ι1}, {Ι2}…, {Ι i , Ι j}, …, {Ιn}.

 Повторяя процесс, получим последовательные множества кластеров, состоящие из (n-2), (n-3), (n–4) и т.д. кластеров. В конце процедуры можно получить кластер, состоящий из n объектов и совпадающий с первоначальным множеством Ι = (Ι1, Ι2, … Ιn).

 В качестве меры расстояния возьмем квадрат евклидовой метрики di j2. и вычислим матрицу D = {di j2}, где di j2 - квадрат расстояния между Ιi и Ι j. Полученная матрица:

  Пусть расстояние между Ι i и Ι j будет минимальным: di j2 = min {di j2, i = j}. Образуем с помощью Ι i и Ι j новый кластер {Ι i , Ι j}. Построим новую ((n-1), (n-1)) матрицу расстояния:

  Довольно часто предполагают, что первоначальные расстояния (различия) между группируемыми элементами заданы. В некоторых задачах это действительно так. Однако, задаются только объекты и их характеристики и матрицу расстояний строят исходя из этих данных. В зависимости от того, вычисляются ли расстояния между объектами или между характеристиками объектов, используются разные способы.

 Очень важным вопросом является проблема выбора необходимого числа кластеров. Иногда можно m число кластеров выбирать априорно. Однако в общем случае это число определяется в процессе разбиения  множества на кластеры.

 Проводились исследования Фортьером и Соломоном, и было установлено, что число кластеров должно быть принято для достижения вероятности a того, что найдено наилучшее разбиение. Таким образом, оптимальное число разбиений является функцией заданной доли b наилучших или в некотором смысле допустимых разбиений во множестве всех возможных. Общее рассеяние будет тем больше, чем выше доля b допустимых разбиений. Фортьер и Соломон разработали таблицу, по которой можно найти число необходимых разбиений. S(a,b в зависимости от a и b (где a - вероятность того, что найдено наилучшее разбиение, b - доля наилучших разбиений в общем числе разбиений) Причем в качестве меры разнородности используется не мера рассеяния, а мера принадлежности, введенная Хользенгером и Харманом. Таблица значений S(a, b) приводится ниже.

Численное дифференцирование. Постановка задачи численного дифференцирования. Дифференцирование интерполяционного многочлена Ньютона. Применение ряда Тейлора для численного дифференцирования. Природа неустранимой погрешности формул численного дифференцирования.
Элементы математической статистики