Физика атомного реактора Сопротивление материалов Математика решение задач Информатика Атомная энергетика безопасность Электротехника и электроника Ручные вычисления по методу Гаусса

Вычислительная математика

Построение многочлена Лагранжа.

Зная вспомогательные многочлены, легко построить и искомый многочлен в виде их линейной комбинации:

В самом деле, степень Рn(х) не выше n, a подставляя в эту формулу значения Х=Хj, получаем: Рn (Xj)=Уj при j=0,1,2,...,n.

Поскольку ранее мы установили, что многочлен степени n, удовлетворяющий условиям интерполяции в узлах единственен, то построенный многочлен Рn(X) и является искомым. Окончательно, он запишется в виде:

Упражнения: Пользуясь формулой (2.1) выписать интерполяционный многочлен в форме Ньютона для функции, заданной таблицей:

 (2.2)

X

1

2

3

 (2.3)

X

-1

0

1

2

y

2

3

6

y

2

2

2

8

 

Оценка точности формулы (2.1) проводится при предположении, что исходная функция f(x) является (n+1) раз дифференцируемой и мы знаем максимум модуля ее (n+1)-ой производной Mn+1. Как уже отмечалось выше, без дополнительных ограничений на гладкость функции никаких оценок произвести нельзя. Правила вычисления неопределенных интегралов Курс лекций по математике

Оценка погрешности.

Итак, оценим погрешность формулы (2.1) в какой-нибудь точке ХÎ[a,b], т.е. будем оценивать R(X),где R(x)=f(x)-Pn(x)

Обозначим многочлен степени (n+1) с корнями в узлах интерполирования через w(x):

и введем вспомогательную функцию: F(x)=f(x)-Pn(x)-b w(x) (2.2)

При этом коэффициент b в формуле (2.2) мы выберем так, чтобы выполнялось условие

F(X)=0, т.е.  f(X)-Pn(X)=b w(X) или R(X)=b w(X) (2.3).

Мы можем без ограничений общности считать, что точка Х не совпадает ни с одним из узлов Хi, поскольку в них погрешность равна 0. В этом случае вспомогательная функция обращается в нуль не менее (n+2) раз на отрезке [a,b]: в точке X и в узлах интерполяции, т.к. w(Xi)=0 и f(Xi)= Pn(Xi).

Используем теорему Ролля, которая утверждает, что между любыми двумя нулями дифференцируемой функции найдется нуль производной, видим, что первая производная F'(x) должна обращаться в нуль на отрезке [a,b] не менее (n+1) раз.

Аналогично, вторая производная F''(x) обращается в нуль не менее n-раз на отрезке [a,b] и т.д.

Рассуждая подобным образом, мы установим, что функция F(n+1)(x) обязательно обращается в нуль хотя бы один раз на отрезке [a, b].

Пусть F(n+1)(d)=0. Дифференцируя формулу (2.2) (n+1) раз, получаем:

F(n+1)(x)=f(n+1)(x)-0-b(n+1)!

откуда легко видеть, что:

f(n+1)(d)=b(n+1)!, или b=f(n+1) (d)/(n+1)!

Подставляя полученное выражение в (2.3), видим:

R(x)=f(n+1)(d)w(x)/(n+1)!,

откуда уже легко произвести нужную оценку

  (2.4)

справедливую для всех точек отрезка [a,b].

Упражнения: Пользуясь формулой (2.4) произвести оценку точности интерполяции при Х=1.5 в условиях:2.4. Упражнения (2.2) и предположения M3 < 10 на [1,3].

1.Произвести вспомогательные выкладки для оценки погрешности в своем варианте. 2.Подготовить тексты программ линейной интерполяции и интерполяции по Лагранжу с оценкой погрешности.

Численное интегрирование функций Хорошо известны многочисленные примеры задач из различных отраслей механики, геометрии, физики, и т.д., которые приводят к необходимости вычисления определенных интегралов функции одной переменной на некотором отрезке.

Метод прямоугольников. Шаблон интегрирования содержит один узел, интерполяционный многочлен имеет нулевую степень.

Метод Симпсона. Шаблон содержит 3 узла, которые расположены по краям и в середине отрезка [di,di+1]; интерполяционный многочлен имеет вторую степень.

Метод двойного счета. Задача 3.1. Доказать, что методы прямоугольников (с узлом в середине отрезка) и трапеций дают точный результат на всех линейных функциях, но не на всех квадратичных функциях, а метод Симпсона дает точный результат на всех многочленах третьей степени, но не четвертой.

Постановка задачи: С помощью ЭВМ вычислить интеграл функции на указанном отрезке методами прямоугольников, трапеций(n=50) и Симпсона(n=20 и n=40). Произвести оценку точности ответа методом двойного счета.

Метод Пикара.Напомним известные теоремы Пикара и Пеано о существовании и единственности решения данной задачи (задачи Коши).

Кроме метода Пикара, к аналитическим методам относится и метод разложения неизвестной функции Y(х) в ряд, на котором мы сейчас остановимся.

Напишем формальное разложение Y(Х) в ряд Тейлора в точке а:.

Численное дифференцирование. Постановка задачи численного дифференцирования. Дифференцирование интерполяционного многочлена Ньютона. Применение ряда Тейлора для численного дифференцирования. Природа неустранимой погрешности формул численного дифференцирования.
Элементы математической статистики