Некоторые математические понятия и символы

С самого начала и на протяжении всего курса мы будем пользо­ваться некоторыми математическими символами и понятиями, не встречавшимися (или редко применявшимися) в школьном курсе физики. Дадим необходимые в этой связи пояснения.

ЗНАКИ МАЛОСТИ, НЕРАВЕНСТВА, ПРИБЛИЖЕННОГО РАВЕНСТВА И ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ

Для обозначения малых величин (или малых изменений величин) принято ставить перед ними знак ∆. Например,  малая масса,   малый промежуток времени и т. д.

Помимо общеизвестных знаков неравенства > и < употребляют­ся знаки ≠ (не равно), >> (гораздо больше) и << (гораздо меньше). Например, масса Земли гораздо меньше относительно массасы Солнца.

Для обозначения приближенного равенства применяется знак » Например, радиус Земли .

Для выражения пропорциональной зависимости служит знак ~.

1.3.2. НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ

Наряду с десятичными логарифмами () применяются нату­ральные логарифмы (), основанием которых служит иррациональ­ное число . Переход от десятичного логарифма к нату­ральному совершается  по формуле .

1.3.3. АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ И ПОРЯДОК ВЕЛИЧИНЫ

Абсолютным значением величины называется ее значение, взятое с положительным знаком; условно обозначается посредством заклю­чения величины в прямые скобки. Если, например, напряжение , то абсолютное значение напряжения .

Порядком величины называется ближайшее к ее значению чис­ло, которое может быть выражено в виде 10га. Например, ускорение свободного падения имеет порядок , длина световой волны  имеет порядок  и т. п.

1.3.4. СИМВОЛИЧЕСКАЯ  ЗАПИСЬ СУММЫ

Сумму большого числа однородных величин

принято  записывать сокращенно с помощью знака  следующим образом:

  или ,

Стоящие при знаке суммы числа 1 и  (пределы суммирования) показывают, что надо складывать все  подряд, начиная с   и кон­чая .

1.3.5. СПОСОБЫ УСРЕДНЕНИЯ ВЕЛИЧИН

Существует несколько способов вычисления среднего значения величины по нескольким () отдельным ее значениям . Мы будем пользоваться:

  а) средним арифметическим значением величины называется сумма отдельных значений величины, деленная на их число:

  б) средним геометрическим значением величины называется корень пй степени из произведения п отдельных ее значений:

;

в) средним квадратичным значением величины называется квад­ратный корень из суммы квадратов отдельных значений величины, деленной на их число:

.

Результаты  усреднения, полученные этими способами, обычно мало отличаются один от другого (но все же ).

1.3.6. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

Все физические величины подразделяются на две группы: ска­лярные (скаляры) и векторные  (векторы).

Скалярная величина полностью определяется числовым значе­нием. Скалярами являются, например, время, площадь, масса, ра­бота. Действия над скалярами  производятся по правилам алгебры, дифференциального и интегрального исчислений.

Векторная величина полностью определяется числовым значением и направлением.  Векторами являются, например, скорость, ускорение, сила. В отличие от скаляров  векторы обозначаются полужирными буквами или буквами со стрел­кой сверху. Например, вектор скорости,   вектор силы и т. п. Графически вектор изображают отрезком со стрелкой на конце. Длина отрезка соответствует (в произ­вольном масштабе) числовому значению вектора;  стрелка показывает направление вектора. На рис.1 изображен век­тор силы , числовое значение которого 3Н (ньютон). Векторы, имеющие  одинаковые модули и направления, равны между собой. Отсюда следует, что при параллельном переносе вектор не изменяется.

Два численно равных, но противоположно направленных вектора  и  называются противоположными. Для них

  или .