Физика атомного реактора Сопротивление материалов Математика решение задач Информатика Атомная энергетика безопасность Электротехника и электроника
Курс электрических цепей Законы Ома и Кирхгофа Энергетический баланс Применение векторных диаграмм при расчете Активная, реактивная и полная мощности Электрические фильтры
Метод контурных токов Этот метод применим для расчета любых цепей. Он базируется на уравнениях, составленных по второму закону Кирхгофа. В схеме выделяются независимые контуры, и в каждом контуре протекает свой так называемый контурный ток.Интеграл Дюамеля
Применение интеграла Дюамеля для расчета переходных процессов
Познокомимся с методом расчета переходных процессов в линейных электрических цепях расчетом с помощью интеграла Дюамеля. При использовании интеграла Дюамеля переменную, по которой производится интегрирование, обозначим
, а под
попрежному будем понимать тот момент времени, в который требуется найти ток в цепи.
Любое напряжение или ток можно представить в виде бесконечной суммы ступенок, как это показоно на рис. 8.15. Пусть к цепи с нулевыми начальными условиями в момент времени
подключается напряжение
(рис. 8.15).
Для того чтобы найти ток в цепи в момент времени t, заменим плавную кривую ступенчатой и просуммируем токи от начального напряжения
и от всех ступенек напряжения, вступающих в действие с запозданием во времени.
Напряжение и (0) в момент времени t вызовет в цепи ток
, где
переходная проводимость. В момент времени
(рис. 8.15) возникает скачок напряжения
.
![]()
Рис. 8.15
Для того чтобы найти составляющую тока в момент времени t, вызываемую этим скачком напряжения
, необходимо и'
умножить на значение переходной проводи мости с у четом времени действия скачка до момента времени t. Из рис. 8.15, видно, что это время равно
. Следовательно, приращение тока от этого скачка составляет
.
Полный ток в момент времени t получим, если просуммируем все частичные токи от отдельных скачков и прибавим их к току
:
.
Число членов суммы равно числу ступенек напряжения. Очевидно, что ступенчатая кривая тем лучше заменяет плавную кривую, чем больше число ступенек. С этой целью заменим конечный интервал времени
на бесконечно малый
и перейдем от суммы к интегралу:
. (8.5)
Формулу (8.5) называют интегралом Дюамеля.
Приведем еще пять форм записи интеграла Дюамеля.
1. Интеграл в (8.5) возьмем по частям:
;
;
;
Подставив результат в (8.5), получим
. (8.5а)
2. Для любых двух функций
и
путем замены переменных можно доказать справедливость следующего соотношения:
. (а)
Распространив это соотношение на (8.5) и (8.5а), получим еще две формы записи интеграла Дюамеля:
; (8.5б)
. (8.5в)
3. Имея в виду формулу дифференцирования определенного интеграла
по параметру
(б)
и учитывая соотношение (а), получим еще две формы записи интеграла Дюамеля:
; (8.5г)
. (8.5д)
Два последних соотношения имеют непосредственное отношение к теореме свертки операторного метода: если
и
, то
;
.
С помощью интеграла Дюамеля можно найти не только ток, но и любую другую физическую величину, например напряжение. В этом случае в формулу вместо переходной проводимости
будет входить переходная функция
, если на входе цепи действует источник ЭДС (напряжения), и переходное сопротивление
, если на входе цепи действует источник тока.