Интеграл Дюамеля

Применение интеграла Дюамеля для расчета переходных процессов

 Познокомимся с методом расчета переходных процессов в линейных электрических цепях расчетом с помощью интеграла Дюамеля. При использовании интеграла Дюамеля переменную, по которой производится интегрирование, обозначим , а под  попрежному будем понимать тот момент времени, в который требуется найти ток в цепи.

Любое напряжение или ток можно представить в виде бесконечной суммы ступенок, как это показоно на рис. 8.15. Пусть к цепи с нулевыми начальными условиями в момент времени  подключается напряжение (рис. 8.15).

Для того чтобы найти ток в цепи в момент времени t, заменим плавную кривую ступенчатой и просуммируем токи от начального напряжения  и от всех ступенек напряжения, вступающих в действие с запозданием во времени.

Напряжение и (0) в момент времени t вызовет в цепи ток , где  переходная проводимость. В момент времени  (рис. 8.15) возникает скачок напряжения

 . 

 

 Рис. 8.15

Для того чтобы найти составляющую тока в момент времени t, вызываемую этим скачком напряжения , необходимо и' умножить на значение переходной проводи мости с у четом времени действия скачка до момента времени t. Из рис. 8.15, видно, что это время  равно . Следовательно, приращение тока от этого скачка составляет  .

Полный ток в момент времени t получим, если просуммируем все частичные токи от отдельных скачков и прибавим их к току: .

Число членов суммы равно числу ступенек напряжения. Очевидно, что ступенчатая кривая тем лучше заменяет плавную кривую, чем больше число ступенек. С этой целью заменим конечный интервал времени  на бесконечно малый  и перейдем от суммы к интегралу:

 . (8.5)

Формулу (8.5) называют интегралом Дюамеля.

Приведем еще пять форм записи интеграла Дюамеля.

1. Интеграл в (8.5) возьмем по частям:

 ; ; ;

 

Подставив результат в (8.5), получим

  . (8.5а)

2. Для любых двух функций  и  путем замены переменных можно доказать справедливость следующего соотношения:

 . (а) 

Распространив это соотношение на (8.5) и (8.5а), получим еще две формы записи интеграла Дюамеля:

 ; (8.5б)

 . (8.5в)

3. Имея в виду формулу дифференцирования  определенного интеграла по параметру

  (б)

и учитывая соотношение (а), получим еще две формы записи интеграла Дюамеля:

 ; (8.5г)

 . (8.5д)

Два последних соотношения имеют непосредственное отношение к теореме свертки операторного метода: если  и , то

 ;

 .

С помощью интеграла Дюамеля можно найти не только ток, но и любую другую физическую величину, например напряжение. В этом случае в формулу вместо переходной проводимости  будет входить переходная функция , если на входе цепи действует источник ЭДС (напряжения), и переходное сопротивление , если на входе цепи действует источник тока.