Физика атомного реактора Сопротивление материалов Математика решение задач Информатика Атомная энергетика безопасность Электротехника и электроника Формулы Крамера.

Алгебра и аналитическая геометрия

Учебное пособие "Высшая математика" включает такие разделы выс-шей математики, изучение которых дает математический аппарат, наибо-лее активно применяемый для решения прикладных экономических и управленческих задач. Это аналитическая геометрия, линейная алгебра и математический анализ.

Алгебра и аналитическая геометрия

Комплексные числа

Определение. Алгебраическая форма записи.

Определение 1. Комплексными числами называются упорядоченные пары  действительных чисел и , если для них определены понятие равенства, операции сложения и умножения, удовлетворяющие следующим аксиомам:

Два числа  и  равны тогда и только тогда, когда , , т.е.

Û, .

(1)

2°. Суммой комплексных чисел  и  называется число, обозначаемое  и равное , т.е.

+=.

(2)

3°. Произведением комплексных чисел  и  называется число, обозначаемое  и равное , т.е.

Криволинейные интегралы первого рода Пример Найти интеграл вдоль отрезка прямой y = x

=.

(3)

Множество комплексных чисел обозначается С.

 Формулы (2),(3) для чисел вида принимают вид

,

откуда следует, что операции сложения и умножения для чисел вида совпадают со сложением и умножением для вещественных чисел Þ комплексное число вида  отождествляется с вещественным числом .

Комплексное число  называется мнимой единицей и обозначается , т.е. Тогда из (3) Þ .

Из (2),(3) Þ что   и значит

(4)

Выражение (4) называется алгебраической формой записи комплексного числа.

В алгебраической форме записи операции сложения и умножения принимают вид:

 

 .

Комплексное число обозначают ,  – вещественная часть,  – мнимая часть,  – чисто мнимое число. Обозначение , .

Определение 2. Комплексное число  называется сопряженным с комплексным числом .

Свойства комплексного сопряжения.

1°. .

2°. .

3°. Если , то .

4°. .

5°.  – вещественное число.

Доказательство проводится непосредственным вычислением.

Определение 3. Число  называется модулем комплексного числа  и обозначается .

Очевидно, что , причем   . Также очевидны формулы:  и .

2°. Свойства операций сложения и умножения.

1°. Коммутативность: , .

2°. Ассоциативность:, .

3°. Дистрибутивность: .

Доказательство 1° - 3° проводится непосредственными вычислениями на основе аналогичных свойств для вещественных чисел.

4°. , .

5°.  , C ! , удовлетворяющее уравнению . Такое

.

6°. ,C, 0, ! : . Такое  находится умножением уравнения на     .

Пример. Представим комплексное число в алгебраической форме. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю. Имеем:

Список рекомендуемой литературы

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Высш.шк., 1998. 320 с.
2. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. М.: Наука, 1986.- 544с
3. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.I : Учеб. пособие для втузов. М.: Высш. шк., 1999. 304с.
4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. - М.: Наука, Гл.ред.физ-мат.лит., 1984. 294с.
5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. - М.: Физико-математической литературы, 2003. 240с.
6. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. М.: "Наука", Ч.1. 1971. 600с.
7. Сборник задач по математике для вузов. Линейная алгебра и основы математического анализа / Под редакцией А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. - М.: Наука, 1981.- 464с.
8. Сборник задач по математике для втузов / Под ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича. - М.: 1986, ч.I.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа.

Корни n-ой степени из комплексного числа. Рассмотрим уравнение

С, N.

(9)

Определение 3. Бинарная операция на X называется коммутативной, если ; ассоциативной, если  выполняется .

Закон сокращения в группе. Если . Доказательство следует из свойства 2°.Важный пример (группа перестановок степени ).

Поле, свойства поля. Пусть P – множество, содержащие не менее двух элементов.

Группа называется циклической группой, если она состоит из степеней одного из своих элементов , т.е. совпадает с одной из своих циклических подгрупп . Элемент в этом случае называется образующим элементом группы .

Точные определения.Пусть  – поле. Определение 1. Многочленом одной переменной с коэффициентами из   называется бесконечная последовательность , в которой все элементы, кроме конечного числа, равны нулю.

 Примеры решения задач по векторной алгебре.

 

Найти длину и направление вектора , если В(2,1,-1), С(3,-2,1).

Решение.

Вычислим координаты вектора , для чего вычтем из координат конца вектора (точка С) соответствующие координаты начала вектора (точка В): (3-2,-2-1,1- -1). Имеем (1,-3,2). Для определения длины воспользуемся формулой: , где x, y, z – соответствующие координаты. Тогда  ; .

Чтобы определить направление вектора, вычислим направляющие косинусы по формулам: ; ; . Для нашей задачи: ; ; .


Линейное пространство