Физика атомного реактора Сопротивление материалов Математика решение задач Информатика Атомная энергетика безопасность Электротехника и электроника Формулы Крамера.

Алгебра и аналитическая геометрия

Знание аналитической геометрии необходимо современному менедже-ру, чтобы грамотно толковать экономическую информацию, представляе-мую в виде различных графиков - это кривые и поверхности безразличия, кривые потребительского бюджета, инвестиционного спроса, кривые Филлипса, Лаффера, Лоренца и т. д.; выводить интерполяционные форму-лы по методу наименьших квадратов; находить наилучший план произ-водства при заданных ресурсах.

Блочные матрицы.

Пусть матрица  при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых является матрицей меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. В этом случае  рассматривается как некоторая новая, блочная матрица , элементами которой являются блоки  указанной матрицы ( – элементы матрицы, поэтому   заглавное).

Здесь  – номер блочной строки,  – столбца. Например

, ,

,  , .

Замечательным является факт, что операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, что и обычными, только в роли элементов выступают блоки. Пример. Найти полное приращение функции z=x2-xy+y2 в точке (х0,у0).

Действительно, если , то , где  вычисляется по обычному правилу умножения матрицы на число.

Аналогично, если  и  имеют одинаковые порядки и одинаковым образом разбиты на блоки, то сумме  отвечает блочная матрица : .

Для умножения  на  необходимо согласовать их разбиение на блоки, т.е. число столбцов каждого блока  равно числу строк блока .

Тогда .

Для доказательства необходимо расписать правую и левую части в терминах обычных элементов матриц .

Пусть  

Пример:  , ,

, ,

,

,

В качестве применения блочных матриц рассмотрим

Определение 6: Прямой суммой квадратных матриц  порядков соответственно называется квадратная матрица  порядка : . Обозначение .

Свойства (прямой суммы):

1˚. .

2˚. .

3˚. .

4˚. .

Доказательство – самостоятельно.

  Найдем векторное произведение этих векторов

(такой определитель лучше вычислять разложением по элементам первой строки).

Используя геометрическое свойство векторного произведения, получаем площадь грани АВС

.

В качестве нормального вектора  плоскости АВС можно взять векторное произведение , но лучше предварительно его сократить на 2, т.е. получаем . Уравнение плоскости АВС найдем как уравнение плоскости, проходящей через заданную точку  перпендикулярно заданному вектору :

.

В качестве точки М0 можно взять любую из точек плоскости АВС, например точку А, тогда получаем

  - общее уравнение плоскости АВС.

в) длину высоты SH можно найти как расстояние от точки S до плоскости АВС. Для этого общее уравнение плоскости  приведем к нормальному виду. Т.к.  - нормальный вектор плоскости,

  - его длина,

 - нормальное уравнение плоскости.

Подставим координаты точки S(-1; 1; 0) в полученное уравнение и возьмем модуль полученного числа

.

Так как  - нормальный вектор плоскости АВС, то он является направляющим вектором высоты SH и уравнения высоты можно найти как уравнения прямой, проходящей через заданную точку  параллельно заданному вектору :

.

В нашем случае

 - канонические уравнения высоты SH.

Поле рациональных дробей Эвристические соображения.

Определение 3. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя.

Частные случаи матриц. Если , то матрица называется квадратной.

Даны векторы , {-1,2,3}. Определить длину и направление вектора .

Решение.

Определим координаты вектора . Координаты , . Тогда . Длина :

Может ли вектор образовывать с осями координат X, Y, Z углы 900, 450, и 600 соответственно? 

Решение.

Проверяем формулу: .Если выполняется – значит, вектор может образовывать данные углы. Для нашей задачи: . Вектор не может образовывать такие углы.

 

Даны точки А(1,1,0), В(1,0,-1), С(0,1,-1), D(-2,-1,3). Будут ли вектора   и  взаимно перпендикулярны? Сначала определим координаты векторов  и . Имеем: ={0-1,1-1,-1-0}={-1,0,-1}, ={-2-1,-1-0,3-(-1)}={-3,-1,4}. Условием перпендикулярности является равенство нулю скалярного произведения, то есть . Проверяем данное равенство: . Ответ: данные векторы не перпендикулярны.


Линейное пространство