гравировка армейских жетонов
Физика атомного реактора Сопротивление материалов Математика решение задач Информатика Атомная энергетика безопасность Электротехника и электроника Формулы Крамера.

Алгебра и аналитическая геометрия

Знание аналитической геометрии необходимо современному менедже-ру, чтобы грамотно толковать экономическую информацию, представляе-мую в виде различных графиков - это кривые и поверхности безразличия, кривые потребительского бюджета, инвестиционного спроса, кривые Филлипса, Лаффера, Лоренца и т. д.; выводить интерполяционные форму-лы по методу наименьших квадратов; находить наилучший план произ-водства при заданных ресурсах.

Группа перестановок. Знак перестановки.

Напомним, что если  – множество из -элементов, , то перестановкой степени  называется взаимнооднозначное отображение .  – множество всех перестановок степени : .

Лемма 1: Число различных перестановок равно

Лемма 2: Множество перестановок  образует группу относительно умножения, так что , обратный элемент получается сменой строк (Не коммутативная группа).

Отметим, что если в перестановке  поменять местами любые столбцы, то получится та же перестановка. Выражение дифференциала через частные производные

Углубим проведенное ранее исследование:

Определение 1: Пусть  – перестановка степени , пусть . Тогда пара  называется инверсией для , если .

Перестановка  называется четной, если число инверсий для  – четное, и перестановка нечетная, если число инверсий нечетное.

Знак перестановки  – это ,где  – число инверсий.

Обозначается .

Итак, если  – четная, то , и если  – нечетная, то .

Пример: . Пары . Их них подчеркнутые – инверсии. Таким образом, , т.е.  – четная.

Теорема 1:

Знак единичной перестановки  равен 1.

Если .

.

Доказательство: 1. В единичной перестановке инверсий нет .

2. Пусть  – множество инверсий относительно , а – множество инверсий относительно .

Легко видеть, что если , то . Следовательно, между множествами  устанавливается взаимнооднозначное соответствие

.

Пусть – множество инверсий относительно ,

 – множество инверсий относительно ,

 – множество инверсий относительно : .

Тогда надо доказать, что , т.е.  – четное число – это надо доказать.

Пусть ,

 ,

 ,

 .

Введем следующее обозначение: пусть  - это множество пар . Тогда справедлива следующая множественная схема:

Между множествами  существует взаимнооднозначное соответствие :  .

 Поэтому из картинки видно , т.е. четное число. ▄

Следствие: .

Обозначение: Пусть . -перестановкой будем называть перестановку, при которой

Определение 2: Перестановка вида  называется транспозицией. Они имеют вид , где точками обозначены элементы, остающиеся на своих местах.

Теорема 2: Транспозиция – нечетная перестановка.

Доказательство: Вычислим число инверсий. Инверсиями являются пары , где , пара , где , и пара . Их всего будет , т.е. нечетное число. ▄

Замечание: Произведение  вида  означает, что в нижней строке  надо поменять местами  и .

? Что означает .

Пример .

Теорема 3: Каждая перестановка является произведением конечного числа транспозиций.

Доказательство: Пусть . Покажем, что нижняя строка  может быть получена из строки  за конечное число шагов, каждый из которых состоит в том, что два числа меняются местами:

Пример:

т.е. .

Аналогично в общем случае.

Пусть на втором шаге поменяются местами . Тогда ввиду замечания .

Упражнение: Каждая перестановка является произведением конечного числа транспозиций вида .

.

Теорема 4: При всех разложениях перестановки в произведения транспозиций, четность числа транспозиций одна и та же; она совпадает с четностью перестановки.

Доказательство: Пусть , где  – транспозиция. Тогда знак  равен знаку произведения транспозиций   – четно, если – четно.

Подставим эти уравнения в уравнение плоскости АВС

   

Полученное значение t подставим в параметрические уравнения

т.е.

д) проекцией ребра АS на грань АВС является прямая АН, уравнения которой можно найти как уравнения прямой проходящей через две заданные точки:

.

Т.к. проекция проходит через точки А и Н, то ее уравнения имеют вид

 

  - канонические уравнения проекции.

е) уравнения искомой прямой можно найти как уравнение прямой, проходящей через заданную точку  параллельно заданному вектору  т.е.

.

В нашем случае получаем

Даны векторы , {-1,2,3}. Определить длину и направление вектора .

Решение.

Определим координаты вектора . Координаты , . Тогда . Длина :

Может ли вектор образовывать с осями координат X, Y, Z углы 900, 450, и 600 соответственно? 

Решение.

Проверяем формулу: .Если выполняется – значит, вектор может образовывать данные углы. Для нашей задачи: . Вектор не может образовывать такие углы.

 

Даны точки А(1,1,0), В(1,0,-1), С(0,1,-1), D(-2,-1,3). Будут ли вектора   и  взаимно перпендикулярны? Сначала определим координаты векторов  и . Имеем: ={0-1,1-1,-1-0}={-1,0,-1}, ={-2-1,-1-0,3-(-1)}={-3,-1,4}. Условием перпендикулярности является равенство нулю скалярного произведения, то есть . Проверяем данное равенство: . Ответ: данные векторы не перпендикулярны.


Линейное пространство