Физика атомного реактора Сопротивление материалов Математика решение задач Информатика Атомная энергетика безопасность Электротехника и электроника Формулы Крамера.

Алгебра и аналитическая геометрия

Знание аналитической геометрии необходимо современному менедже-ру, чтобы грамотно толковать экономическую информацию, представляе-мую в виде различных графиков - это кривые и поверхности безразличия, кривые потребительского бюджета, инвестиционного спроса, кривые Филлипса, Лаффера, Лоренца и т. д.; выводить интерполяционные форму-лы по методу наименьших квадратов; находить наилучший план произ-водства при заданных ресурсах.

Определители

Определение.

Пусть   − коммутативное кольцо с единицей.

Определение 1. Определителем квадратной матрицы  порядка с элементами из  называется элемент кольца :

D==det = = ,

где сумма берется по всем перестановкам s множества из  элементов, e(s) – знак перестановки.

Таким образом, из элементов  составляются всевозможные произведения  из  сомножителей, содержащих по одному элементу из каждого столбца и каждой строки. Всего слагаемых в сумме равно числу перестановок, т.е. равно .

Замечание. Определитель бывает только у квадратных матриц.

Иногда вместо определитель используют термин детерминант (по латыни).

Примеры.

1. Если , то матрица  состоит из одного элемента, т.е. . Тогда .

2. Если , то =. Формула для определителя в этом случае содержит 2!=2  слагаемых, соответствующих тождественной перестановке e=, e()=1, и перестановке p=, e(p)=-1. Получаем

.

3. Если , то =. В этом формула для определителя содержит 3!=6 слагаемых, соответствующих перестановкам s0=, e(s0)=1, s1=, e(s1)=-1, s2=, e(s2)=1, s3=, e(s3)=-1, s4=, e(s4)=1, s5=, e(s5)=-1. Получаем

т.е.,

.

Слагаемые с положительными и отрицательными коэффициентами запоминаются по правилу Саррюса; а именно,

 

Примеры.

1) =14−3(-2)=10

2) =

=3−8+6−2=−1

3)  =111=1 => det En=1 "n

4) =

 5) =?

6) =

 7) =

Для определителей порядка большего 3 нет единых правил вычисления и, как правило, такие определители вычисляют с использованием свойств определителя.

г) проекцией вершины S на плоскость АВС является точка Н, которую можно найти как точку пересечения плоскости АВС и прямой SH. Для этого канонические уравнения прямой SH приведем к параметрическим уравнениям

,

 

ж) вектор  является нормальным вектором искомой плоскости. Уравнение этой плоскости можно найти как уравнение плоскости, проходящей через заданную точку  перпендикулярно заданному вектору :

.

В нашем случае

 

з) угол a между ребрами АВ и AS можно найти как угол между векторами  и :

Т.к.  , , то

и)  Т.к. угол b между прямой  и плоскостью   находится по формуле

и - направляющий вектор прямой AS;

 - нормальный вектор плоскости АВС, то

к) найдем нормальный вектор  плоскости АВS

Т.к.  , то

  

  - нормальный вектор плоскости АВС.

Угол g между плоскостями можно найти как угол между их нормальными векторами ,

т.е. 

В нашем случае

Получили , т.е. полученный угол g тупой. Две плоскости при пересечении образуют четыре угла - два тупых g и два острых g1, причем , отсюда для острого угла g1 получаем

.

Даны векторы , {-1,2,3}. Определить длину и направление вектора .

Решение.

Определим координаты вектора . Координаты , . Тогда . Длина :

Может ли вектор образовывать с осями координат X, Y, Z углы 900, 450, и 600 соответственно? 

Решение.

Проверяем формулу: .Если выполняется – значит, вектор может образовывать данные углы. Для нашей задачи: . Вектор не может образовывать такие углы.

 

Даны точки А(1,1,0), В(1,0,-1), С(0,1,-1), D(-2,-1,3). Будут ли вектора   и  взаимно перпендикулярны? Сначала определим координаты векторов  и . Имеем: ={0-1,1-1,-1-0}={-1,0,-1}, ={-2-1,-1-0,3-(-1)}={-3,-1,4}. Условием перпендикулярности является равенство нулю скалярного произведения, то есть . Проверяем данное равенство: . Ответ: данные векторы не перпендикулярны.


Линейное пространство