Физика атомного реактора Сопротивление материалов Математика решение задач Информатика Атомная энергетика безопасность Электротехника и электроника Формулы Крамера.

Алгебра и аналитическая геометрия

В разделе "Линейная алгебра" основное внимание уделяется матрицам, определителям и системам линейных уравнений, поскольку в экономиче-ских исследованиях широко используются различные матричные модели - межотраслевого баланса, в плановых расчетах, при расчетах фонда зара-ботной платы и т.д.

Миноры и алгебраические дополнения.

Пусть АÎКm,n .выберем k номеров строк i1,….,ik, и k номеров столбцов j1,…..,jk: i1<i2<…< ik j1<j2<…< jk

Def5:минором порядка k матрицы А называется определитель матрицы порядка k,образованной элементами, находящимися на пересечении выбранных строк и столбцов.

Обозначение:

Примеры: А=, ,

Def 6: Если А – квадратная порядка n,то каждому минору порядка к можно поставить в соответствие дополнительный минор  порядка n-k,элементы которого расположены на пересечении остальных строк и столбцов . Очевидно, что минор  будет в свою очередь дополнительным к . Пример. Найти точки разрыва функции .

Алгебраическими дополнениями минора  называется произведение дополнительного минора на :

Если mij=aij =>aij=(-1)i+j

Пример:  => А22=(-1)2+2 =9

Теорема 1(о разложении определителя)

Если АÎКn,n и n>1,то detA равен сумме произведений элементов любой строки матрицы А на их алгебраические дополнения,те detA=ai1Ai1+…+ainAin, "i=1,…n.

Доказательство: Пусть

A=.Тогда , выбрав i-ю строку, определитель А можно представить как сумму: detA=, где i-я строка

Покажем, что =Aij. Переставляя n-j раз столбцы и n-i раз строки, получим :

Лемма 1: А=

Доказательство: detA====.

Рассмотрим tÎSn-1: t. Очевидно,что e(t)=,так что число инверсий в t и одно и тоже и значит detA== = чтд

Вернемся к доказательству теоремы: =

=(-1)i+j=aij. чтд

Следствие(разложение по чужой строке)

Сумма произведений всех элементов какой-нибудь строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Доказательство: Пусть А= (aij)ÎКn,n .рассмотрим матрицу , получающуюся из А заменой i-ой строки на j-ю,оставляя j-ю прежней=>detA=0. Напишем разложение   по i-ой строке: 0=det== = тк алгебраические дополнения к элементам i-ой строки у матрицы А и  совпадают. чтд

Пример:

|A|===(-1)= =2=2(-54+140-150+84)=40

Следующая теорема обобщает теорему 1.

Пример выполнения задания 4

Найти вторую производную функции y(x):

 а)

Найдем первую производную

Т.к. , то

б)

Т.к.

  то 

Для использования формулы  необходимо найти .

В нашем случае

 

отсюда .

Def5:минором порядка k матрицы А называется определитель матрицы порядка k,образованной элементами, находящимися на пересечении выбранных строк и столбцов.

Группа перестановок. Знак перестановки.

Теорема 2(теорема Лапласа) Пусть матрице А порядка n произвольно выбраны k строк,1£k£n-1. Тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна detA.Те если i1,…ik – выбранные строки, то detA=(1), где суммирование ведется по всевозможным значениям индексов j1,….jk, 1£j1<j2<<jn£n.

Обратная матрица. Пусть A – квадратная матрица порядка n над полем P. Def1:Матрица В Є Pn, n называется обратной для A, если AB=En. Def2: Квадратная матрица А называется невырожденной (или неособой), если.

Теорема о базисном миноре.Рассмотрим матрицу A Є Pm, n, где P-поле матрицы размера m·n Def3 Число r 0 называется рангом матрицы A, если

1) минор порядка r, отличный от нуля.

Векторы {1,0,0}, {1,1,0}, {1,1,1} образуют базис в пространстве. Найти координаты вектора  в базисе , , .

Решение.

Произвольный вектор  можно разложить в базисе , ,  следующим образом: . При этом получим: , или .

Приравнивая соответствующие координаты векторов, имеем:; решая представленную систему уравнений, получаем , , . Таким образом, вектор  в новом базисе имеет координаты {2,1,-1}, а его разложение в базисе , ,  записывается в виде: .


Линейное пространство