Физика атомного реактора Сопротивление материалов Математика решение задач Информатика Атомная энергетика безопасность Электротехника и электроника Формулы Крамера.

Алгебра и аналитическая геометрия

В разделе "Линейная алгебра" основное внимание уделяется матрицам, определителям и системам линейных уравнений, поскольку в экономиче-ских исследованиях широко используются различные матричные модели - межотраслевого баланса, в плановых расчетах, при расчетах фонда зара-ботной платы и т.д.

Обратная матрица. Пусть A – квадратная матрица порядка n над полем P.

Def1:Матрица В Є Pn, n называется обратной для A, если AB=En.

Def2: Квадратная матрица А называется невырожденной (или неособой), если

  и вырожденной (особой), если detA=0.

Из теоремы 2 пункта 4° Þ произведение матриц, одна из которых вырождена, будет вырожденной матрицей, а произведение двух невырожденных матриц дает невырожденную матрицу.

Def3: Матрицей присоединенной к матрице A, называется матрица Линейная модель торговли Одним из примеров экономического процесса, приводящего к понятию собственного числа и собственного вектора матрицы, является процесс взаимных закупок товаров. Будем полагать, что бюджеты п стран, которые мы обозначим соответственно x1, x2, … , xn расходуются на покупку товаров. Мы будем рассматривать линейную модель обмена, или, как ее еще называют, модель международной торговли.

,

где Aij – алгебраическое дополнение элемента aij матрицы А.

Лемма: Для матриц A и AV справедливо

A·AV=AV·A=(detA)·En

Док-во: Пусть C= A·AV. Тогда

 

Итак, A·AV=detA·En. Аналогично AV·A=A·AV= (detA)·En

Теорема 1: Для того, чтобы для матрица A существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной.

Док-во:

Þ Пусть для матрицы A

 

Замечание: итак

Пример:

Свойства обратных матриц: Пусть A, B Є Pn, n

Тогда

1° (A-1)-1=A

2°. (A-1)T=(AT)-1

3°. (A-1)K=(AK)-1

4°. det(A-1)=(detA)-1

5°. (AB)-1=B-1·A-1


§8. Теорема о базисном миноре матрицы.

1°. Линейная зависимость строк матрицы.

Пусть P – поле.

Def1 Будем говорить, что строка B=(b1, …, bn) bi Є P является линейной комбинацией строк A1=(a11, …, a1n,), …, Ak=(k1, …, akn,), aij Є P, если для некоторых α1,…, αk Є P справедливо

bj=α1aij + … + αkj, j=1, …, n. (1)

Это равенство удобно записать в матричном виде:

B=α1A1+ … + αkAk. (1’)

Def2 Строки A1=(a11, …, a1n,), …, Ak=(k1, …, akn,) назовем линейно зависимыми, если  такие  одновременно не равные нулю, такие что

Строки, не являющиеся линейно зависимыми, являются линейно независимыми. Иными словами, A1, …, Ak – линейно независимы, если равенство  возможно лишь когда

Теорема 1: Строки A1, …, Ak – линейно зависимы одна из этих строк является линейной комбинацией остальных.

Док-во:

но

4.4.2 Пример выполнения задания 5

Провести полное исследование функции  и построить ее график.

1. Т.к. , то  т.е.

 

2. , т.к. , то функция не является четной и , то функция не является нечетной. Получим, что  есть функция общего вида.

3. , т.е.  - точка пересечения графика функции с осью Оy.

Уравнение   корней не имеет и график функции с осью Ох не пересекается.

4.

  если ;

* не существует если  .

Получаем

 


При   и  функция возрастает,

при  и   функция убывает,

* - точка максимума,

  - максимум функции.

Векторы {1,0,0}, {1,1,0}, {1,1,1} образуют базис в пространстве. Найти координаты вектора  в базисе , , .

Решение.

Произвольный вектор  можно разложить в базисе , ,  следующим образом: . При этом получим: , или .

Приравнивая соответствующие координаты векторов, имеем:; решая представленную систему уравнений, получаем , , . Таким образом, вектор  в новом базисе имеет координаты {2,1,-1}, а его разложение в базисе , ,  записывается в виде: .


Линейное пространство