Физика атомного реактора Сопротивление материалов Математика решение задач Информатика Атомная энергетика безопасность Электротехника и электроника Формулы Крамера.

Алгебра и аналитическая геометрия

В разделе "Линейная алгебра" основное внимание уделяется матрицам, определителям и системам линейных уравнений, поскольку в экономиче-ских исследованиях широко используются различные матричные модели - межотраслевого баланса, в плановых расчетах, при расчетах фонда зара-ботной платы и т.д.

Линейное пространство

Определение и простейшие свойства

Пусть даны поле  с элементами, называемыми скалярами и обозначаемыми малыми греческими буквами , , , … и множество элементов, называемых векторами и обозначаемых латинскими буквами  . Введем на   алгебраическую операцию сложения, которая каждой паре элементов  ставит в соответствие третий элемент , называемый суммой  и  и обозначаемый , а также операцию умножения скаляра на вектора, которая и  ставится в соответствие , называемый произведением вектора  на скаляр  и обозначаемый Обобщения теорем сложения и умножения Появление только одного из независимых событий Рассмотрим примеры совместного применения теорем сложения и умножения. Пусть два независимых события А1 и А2 имеют вероятности появления соответственно p1 и р2. Найдем вероятность появления только одного из этих событий

Определение 1. Множество  вместе с заданными на нем операциями сложения векторов и умножения вектора на скаляр называется линейным (векторным) пространством над полем , если удовлетворяются следующие аксиомы:

1) является абелевой группой;

2) Для любых  и выполняются равенства:

а) Умножение  на  не изменяет , т.е. .

б)     .

в) Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения скаляров, т.е.     .

г) Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения векторов, т.е.     .

Обозначение. .

Замечание. Так как  ­­− абелева группа, то существует единственный нейтральный (нулевой) элемент, обозначаемый , для каждого вектора  существует единственный симметричный (противоположенный) элемент, обозначаемый , и для  уравнение имеет единственное решение , называемое разностью  и .

Свойства линейного пространства.

1)   выполняется .

2)   выполняется .

3)   выполняется .

4)   выполняется .

5) .

6) .

7) .

Доказательство.

Так как    в силу г)  имеем   . Аналогично,  имеем     .

В силу г) имеем   в силу разности векторов .

Следует из 2) при .

Доказывается аналогично.

Если   и , то умножая это равенство на  получаем:   и   . Т.о., если , то   . Обратное утверждение следует из 1).

Из .

Аналогично. ■

Примеры.

Если   − поле и , то  имеем    − векторное пространство, называемое нулевым.

  − векторное пространство комплексных чисел над полем вещественных чисел.  − векторное пространство вещественных чисел над полем рациональных чисел.

Множество  матриц размера  образует векторное пространство .

Множество многочленов степени не выше n образует векторное пространство .

Множество  непрерывных на  функций образует векторное пространство .

  – n-мерное координатное пространство (или арифметическое пространство), элементами которого являются упорядоченные наборы из n чисел: . Операции определены следующим образом:

;

.

Задача. Проверить выполнение аксиом векторного пространства.

2о. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Это понятие является обобщением понятия линейной зависимости строк.

Определение 2. Линейной комбинацией векторов  с коэффициентами  называется выражение вида: .

Определение 3. Вектора  называются линейно независимыми, если , из которых хотя бы одно отлично от нуля, т.е. линейная комбинация  с этими  является нулевым вектором V, т.е. . Вектора , не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Другими словами,  называются линейно независимыми, если их линейная комбинация является нулевым элементом V лишь при условии, что

Теорема 1.

1) Для того, чтобы элементы  были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов был линейной комбинацией остальных.

2) Если среди  один элемент нулевой, то они линейно зависимы.

3) Если часть элементов множества  линейно зависима, то и все элементы линейно зависимы.

Доказательство. 1о Аналогично доказательству из §8.

2о Если    и  – любое, например,    линейно зависимы.

3о Если  – линейно зависимы, то  одновременно неравные нулю, так что    и хотя бы одно из  отлично от нуля   линейно зависимы. ч.т.д.

Пример. Рассмотрим линейное пространства  и докажем, что n элементов из  вида , ,…,  линейно независимы, а добавление еще одного элемента  приводит к линейно зависимой системе. Действительно, рассмотрим линейную комбинацию  с . Имеем . Вектор справа равен нулю, если все , т.е.  – линейно независимы.

Добавим . Тогда по теореме 1, п. 1о, достаточно показать, что x – линейная комбинация . Действительно,

д)   .

В этом примере будем пользоваться следствием первого и второго замечательных пределов, а именно,

Ответ:

Векторы {1,0,0}, {1,1,0}, {1,1,1} образуют базис в пространстве. Найти координаты вектора  в базисе , , .

Решение.

Произвольный вектор  можно разложить в базисе , ,  следующим образом: . При этом получим: , или .

Приравнивая соответствующие координаты векторов, имеем:; решая представленную систему уравнений, получаем , , . Таким образом, вектор  в новом базисе имеет координаты {2,1,-1}, а его разложение в базисе , ,  записывается в виде: .


Линейное пространство