Физика атомного реактора Сопротивление материалов Математика решение задач Информатика Атомная энергетика безопасность Электротехника и электроника Формулы Крамера.

Алгебра и аналитическая геометрия

В разделе "Линейная алгебра" основное внимание уделяется матрицам, определителям и системам линейных уравнений, поскольку в экономиче-ских исследованиях широко используются различные матричные модели - межотраслевого баланса, в плановых расчетах, при расчетах фонда зара-ботной платы и т.д.

Базис линейного пространства и координаты вектора в базисе.

Def 5. Совокупность векторов  называют базисом в , если

1о. вектора  – линейно независимы;

2о. для  найдутся  . (1)

При этом равенство (1) называется разложением элемента  по базису , а  называются координатами  относительно базиса .

Теорема 2 (о единственности разложения по базису). Любой элемент  может быть единственным образом разложен по базису , т.е. координаты вектора относительно базиса определяются однозначно.

Доказательство. Пусть  и . Тогда . В силу линейной независимости   . ч.т.д. Интегрирование по частям определенного интеграла Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а,в], то

Теорема 3 (операции над векторами, заданными своими координатами). При сложении любых двух векторов  и  их координаты (относительно любого фиксированного базиса в ) складываются; при умножении  на , все координаты вектора умножаются на это число.

Доказательство. Пусть  - базис в , , . Тогда в силу аксиом линейного пространства , . В силу единственности разложения по базису  что теорема доказана.

Примеры. 1о. Базис в  - любое ненулевое число.

2о. . Базис образуют матрицы , , …,  с одним единичным элементом.

3о.   – множество многочленов степени не выше n. Базис: , , …, .

4о.   – см. выше.

4о. Размерность линейного пространства.

Def 6. Линейное пространство  называется n-мерным, если

1о. В нем  n линейно независимых векторов.

2о.   векторов линейно зависимы.

Тогда n называется размерностью  и обозначается .

Def 7. Линейное пространство называется бесконечномерным, если в нем  любое число линейно независимых векторов.

Выясним связь между понятием базиса и размерности линейного пространства.

Теорема 4. Если  – линейное пространство размерности n, то  линейно независимых векторов этого пространства образуют его базис.

Доказательство. Пусть  – система n линейно независимых векторов из . Если  - любой вектор из , то по Def 6, вектора  – линейно зависимы, т.е.

и среди  есть хотя бы одно отличное от нуля. Очевидно, что   (т. к. иначе  – линейно зависимы)

, т.е.

 – линейная комбинация   т. к.  – произвольный, то  –базис.

Теорема  5. Если  имеет базис, состоящий из n элементов, то .

Доказательство. Пусть  – базис в . Достаточно показать, что  векторов  линейно зависимы. Разложим их по базису:

,

,

где .

Очевидно, что линейная зависимость векторов  эквивалентна линейной зависимости строк матрицы

.

Но строки этой матрицы заведомо линейно зависимы, т. к. порядок базисного минора не превосходит n и хотя бы одна из  строк не является базисной, и по теореме о базисном миноре представляет собой линейную комбинацию базисных строк (а стало быть и остальных).

Примеры. 1о. . 2о. . 3о. . 4о. . 5о. .

5о. Изоморфизм линейных пространств.

Здесь будет показано, что линейные пространства одной и той же размерности в смысле некоторых свойств, связанных с введенными операциями, не отличаются друг от друга.

Def 6. Два произвольных линейных пространства V и  над одним и тем же полем   называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимнооднозначное соответствие так, что если векторам  отвечают соответственные вектора , то вектору  отвечает вектор , а вектору  при  отвечает вектор .

Для непрерывности функции f(x) в точке x0 необходимо и достаточно выполнение трех условий:

функция f(x) должна быть определена в точке x0, т.е. можно вычислить значение f(x0);

должны существовать и быть конечными односторонние пределы

 ;

3.A = B= f (x0).

Если все эти три условия выполнены, то x0 – точка непрерывности функции f(x).

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то x0 – точка разрыва функции f(x).

Точки разрыва функции можно разделить на точки разрыва первого рода и точки разрыва второго рода. Причем точки разрыва первого рода так же делятся на точки устранимого и неустранимого разрывов. Т. е. можно рассматривать следующую схему

 


Дадим определения всех этих точек разрыва.

Устранимый разрыв: односторонние пределы А и В существуют и конечны, , но f(x) неопределена при  или .

Неустранимый разрыв: односторонние пределы А и В существуют и конечны, но . При этом f(x) может быть как определена, так и не определена при .

Таким образом, у точек разрыва первого рода односторонние пределы должны существовать и быть конечными.

Все точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода, есть точки разрыва второго рода. Т.е. если хотя бы один из односторонних пределов А или В не существует или равен ¥, то  есть точка разрыва второго рода.

Векторы {1,0,0}, {1,1,0}, {1,1,1} образуют базис в пространстве. Найти координаты вектора  в базисе , , .

Решение.

Произвольный вектор  можно разложить в базисе , ,  следующим образом: . При этом получим: , или .

Приравнивая соответствующие координаты векторов, имеем:; решая представленную систему уравнений, получаем , , . Таким образом, вектор  в новом базисе имеет координаты {2,1,-1}, а его разложение в базисе , ,  записывается в виде: .


Линейное пространство