Физика атомного реактора Сопротивление материалов Математика решение задач Информатика Атомная энергетика безопасность Электротехника и электроника Формулы Крамера.

Алгебра и аналитическая геометрия

В разделе "Линейная алгебра" основное внимание уделяется матрицам, определителям и системам линейных уравнений, поскольку в экономиче-ских исследованиях широко используются различные матричные модели - межотраслевого баланса, в плановых расчетах, при расчетах фонда зара-ботной платы и т.д.

Ранг матрицы как максимальное число линейно независимых строк (столбцов).

Напомним, что если , то  – это число , такое, что существует минор порядка , отличный от нуля и все миноры порядка  равны 0.

Теорема 3. Ранг произвольной матрицы  равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы.

Доказательство. Докажем для строк. Пусть

, где .

Каждую строку в  можно рассматривать как элемент пространства  (т.е. упорядоченную совокупность   элементов, аналог ). Тогда линейная оболочка  строк порождает подпространство . Пусть в матрице   базисных строк. Тогда по теореме о базисном миноре (см. §9) имеем, что любая строка матрицы  является линейной комбинацией этих  строк, т.е. элементом подпространства , а из теоремы 8   . Таким образом,  строк матрицы  линейно зависимы, т.е.  – максимальное число линейно независимых строк. Сети frame relay - сравнительно новые сети, которые гораздо лучше подходят для передачи пульсирующего трафика локальных сетей по сравнению с сетями Х.25, правда, это преимущество проявляется только тогда, когда каналы связи приближаются по качеству к каналам локальных сетей, а для глобальных каналов такое качество обычно достижимо только при использовании волоконно-оптических кабелей.

Следствие. Число линейно независимых строк равно числу линейно независимых столбцов матрицы .

3о. Элементарные преобразования матрицы.

Вычислять ранг матрицы перебором всех миноров – большая работа. Несколько облегчает положение метод окаймляющих миноров, согласно которому миноры   порядка ищутся как окаймляющие ненулевой минор -ого порядка.

Проще всего находить ранг матрицы и ее базисный минор при помощи элементарных преобразований.

Def 3. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

1о. Умножение строки на элемент , отличный от нуля.

2о. Прибавление к одной строке другой строки.

3о. Перестановка строк.

4о. Такие же преобразования над столбцами.

Теорема 4. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Доказательство. Пусть  – исходная матрица,  – преобразованная, , т.е.  и все , ,…

1о. Если , то если умноженная строка входит в , то , если нет, то . Для  имеем .

2о. Пусть  получается из  прибавлением к -ой строке -ой. Покажем, что при этом ранг не увеличивается, т.е. если   .

а) Если  содержит и -ую и -ую строки – очевидно, что .

б) Если -ая строка не входит в , то .

в) Если -ая входит в , а -ая – не входит, то , где  – другой минор матрицы  . Знак “-” может возникнуть из-за того, что  могут быть переставлены строки. Например,

.

Т.о. , т.е. прибавление строк – обратимая операция, то  получается из  такой же операцией, т.е.   .

3о. Очевидно, что при перестановке двух строк не меняется максимальное число линейно независимых строк.

4о. Неизменность ранга при элементарных преобразованиях столбцов доказывается аналогично.

Def 4. Матрицы  и , получаемые друг из друга элементарными преобразованиями, называются эквивалентными.

Т.о., эквивалентные матрицы имеют одинаковый ранг.

Def 5. Матрица, у которой в каждой следующей строке, начиная со второй, первый отличный от нуля элемент стоит правее первого отличного от нуля элемента предыдущей строки, а все нулевые строки (т.е. строки, содержащих хотя бы один ненулевой элемент), называется ступенчатой.

Пример

  – ступенчатая матрица.

Теорема 5. (О ступенчатой матрице)

Каждая матрица элементарными преобразованиями строк приводится к ступенчатой.

Ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк.

Доказательство. 1) Если некоторый элемент  данной матрицы отличен от нуля, то с помощью элементарных преобразований строк можно получить новую матрицу, в которой все элементы, стоящие над  и под ним равны нулю. Например, чтобы получить нуль на месте  , достаточно умножить -ую строку на  и прибавить к -ой строке. На месте -ого элемента будет стоять .

Возьмем первый слева ненулевой столбец и переставим строки так, чтобы в первой строке оказался этот ненулевой элемент (если первый элемент этого столбца был ненулевым, то переставлять строки не надо). Элементарными преобразованиями все элементы столбца можно сделать нулями. Первая строка ступенчатой матрицы готова: все ненулевые элементы второй и нижних строк стоят правее первого ненулевого элемента первой строки.

Применим ту же процедуру к матрице, начиная со второй строки: возьмем первый слева столбец, содержащий ненулевые элементы, переставим так, чтобы во второй строке был ненулевой элемент и т.д. После этого будет готова и вторая строка.

Так как строк конечное число, то процесс конечен.

2) Пусть в ступенчатой матрице  ненулевых строк. Тогда любой минор  и выше порядков равен 0, т.е. содержит нулевые строки. Ненулевой минор -ого порядка строится так: берутся столбцы, содержащие первые ненулевые элементы  ненулевых строк. Его определитель равен произведению этих ненулевых элементов (верхнетреугольная матрица). Т.о., .

Пример. В выше рассмотренном примере . Т.о., ранг любой матрицы вычисляется приведением ее к ступенчатому виду.

При вычислении производной необходимо знать правила дифференцирования и производные основных элементарных функций.

Правила дифференцирования

Если f(x) и g(x) дифференцируемы в точке х, то в этой точке так же дифференцируемы   причем

1)  2) ;

2о)  где

3)

3о)

Если функции u(x) и f(u) дифференцируемы, то дифференцируема и их суперпозиция   причем

 .

Производные элементарных функций

*

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производные функций, заданных параметрически

Если y(x) задана параметрически уравнениями  то

.

Вторую производную  находим по формуле

.

Сумма и пересечение подпространств 5о. Прямая сумма подпространств. Свойства изоморфных пространств. 10. Нулевому элементу V соответствует нулевой элемент  и наоборот.Док-во: Если .

Векторы {1,0,0}, {1,1,0}, {1,1,1} образуют базис в пространстве. Найти координаты вектора  в базисе , , .

Решение.

Произвольный вектор  можно разложить в базисе , ,  следующим образом: . При этом получим: , или .

Приравнивая соответствующие координаты векторов, имеем:; решая представленную систему уравнений, получаем , , . Таким образом, вектор  в новом базисе имеет координаты {2,1,-1}, а его разложение в базисе , ,  записывается в виде: .


Линейное пространство