Физика атомного реактора Сопротивление материалов Математика решение задач Информатика Атомная энергетика безопасность Электротехника и электроника Формулы Крамера.

Алгебра и аналитическая геометрия

Математический анализ дает ряд фундаментальных понятий, которыми оперирует экономист, - это функция, предел, производная, интеграл, диф-ференциальное уравнение. Например, второй замечательный предел при-меняется при решении задач о росте банковского вклада по закону слож-ных процентов; использование понятия производной приводит к такой специальной дисциплине, как предельный анализ в экономике и т.д.

Формулы Крамера. Рассмотрим частный случай, когда  и , т.е.  – невырожденная матрица.

Теорема 1. (правило Крамера) Система  уравнений с  неизвестными в случае, когда , имеет решение, причем только одно. Это решение находится по формулам:

, , (3)

где ,  – определитель матрицы, получаемой из  заменой -ого столбца на столбец свободных членов, т.е.

.

Формулы (3) называются формулами Крамера.

Доказательство. Запишем систему в матричном виде (2): Основные принципы технологии АТМ Сеть АТМ имеет классическую структуру крупной территориальной сети - конечные станции соединяются индивидуальными каналами с коммутаторами нижнего уровня, которые в свою очередь соединяются с коммутаторами более высоких уровней. Коммутаторы АТМ пользуются 20-байтными адресами конечных узлов для маршрутизации трафика на основе техники виртуальных каналов. Для частных сетей АТМ определен протокол маршрутизации PNNI (Private NNI), с помощью которого коммутаторы могут строить таблицы маршрутизации автоматически. В публичных сетях АТМ таблицы маршрутизации могут строиться администраторами вручную, как и в сетях Х.25, или могут поддерживаться протоколом PNNI.

,

т.к.  – квадратная матрица и    определена обратная матрица

.

Тогда умножая (2) слева на , имеем:

, т.е.

 

.

Здесь  определяется через алгебраические дополнения к элементам -ого столбца матрицы , умноженными на элементы столбца . Видно, что это можно переписать в виде формул (3).

Покажем, что это решение единственно. Пусть  – решение (1), т.е.

Умножим первое уравнение на , второе – на , …, и сложим (здесь ,…, – алгебраические дополнения к элементам -ого столбца матрицы ). Имеем:

Здесь коэффициенты при  есть сумма произведений элементов -ого столбца матрицы  на алгебраические дополнения к элементам -ого столбца . По теоремам о разложении по «своему» и «чужому» столбцу имеем, что коэффициент при  равен , а остальные – нули, т.е.

   , т.е. те же формулы.

Т.о., (3) дают единственное решение.

Пример.

. , , , , , , .

Замечание. Если рассматривать однородную СЛУ с  и , то формулы Крамера дают единственное нулевое решение.

Следствие. Если однородная система  линейных уравнений с  неизвестными имеет ненулевое решение, то .

3о. Условие совместности СЛУ.

Теорема 2. (теорема Кронекерра-Капелли). Для того, чтобы система (1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее расширенной матрицы был равен рангу основной матрицы, т.е.

.

Доказательство. Очевидно, что .

Для доказательства перепишем систему (1) в виде:

  (4)

где выделены столбцы матрицы , являющиеся элементами .

Необходимость. Если существует решение , то запись (4) означает, что столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы . Значит, добавление этого столбца не изменяет числа линейно независимых столбцов  .

Достаточность. Пусть . В этом случае базисный минор матрицы  является базисным и для . Это и означает, что столбец свободных членов есть линейная комбинация тех столбцов матрицы , в которых расположен базисный минор, а значит, и всех столбцов матрицы  (остальные можно взять с коэффициентом 0). Очевидно, что коэффициенты этой линейной комбинации и являются решениями системы (1), т.е. есть хотя бы одно решение.

б) Для нахождения решения системы матричным методом, запишем систему линейных уравнений в матричной форме.

Если обозначить

  - матрицу коэффициентов при неизвестных;

  - столбец свободных членов;

  - столбец неизвестных,

то систему линейных уравнений можно записать в виде матричного уравнения:

 .

Решение системы в матричной форме имеет вид

 .

Найдем обратную матрицу по формуле

  ,

Она существует, так как 

Найдем алгебраические дополнения:

;

;

;

;

;

;

;

;

,

.

Решение системы:

 

 Получили,   

Построение решений СЛУ. Теорема Кронекера-Капелли устанавливает совместимость СЛУ, но не дает практического рецепта их нахождения.

Рассмотрим матрицу . Элементарными преобразованиями строк ее можно привести к ступенчатой матрице : :

Нахождение обратной матрицы методом Гаусса. Напомним, что матрица  называется обратной к , если . Обратные матрицы существуют лишь для невырожденных матриц, т.е. .

Лемма 1. Система однородных уравнений всегда совместна. Really  – ее решение. Это решение называется тривиальным. Ненулевые решения называются нетривиальными.

Пространство геометрических векторов как пример линейного пространства Направленные отрезки.

Для определенности любую тройку векторов, содержащую нулевой вектор, считают комплонарной. Пусть даны два вектора a и b. Из произвольной точки O пространства отложим  и . Тогда  есть направленный отрезок и значит, определяет вектор.

Примеры решения задач по аналитической геометрии на плоскости.

 

Уравнение прямой  привести к нормальному виду, получить уравнение прямой в отрезках и уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Решение.

а) Нормирующий множитель: . Умножая на него все слагаемые общего уравнения прямой, получаем: . Для данной прямой, следовательно, имеем: , , .

б) Для получения уравнения прямой в отрезках переносим свободный член вправо, и делим на него всё уравнение:

, , ;

в) Чтобы получить уравнение прямой с угловым коэффициентом, выразим из общего уравнения прямой у:

, .


Линейное пространство