Физика атомного реактора Сопротивление материалов Математика решение задач Информатика Атомная энергетика безопасность Электротехника и электроника Формулы Крамера.

Алгебра и аналитическая геометрия

Математический анализ дает ряд фундаментальных понятий, которыми оперирует экономист, - это функция, предел, производная, интеграл, диф-ференциальное уравнение. Например, второй замечательный предел при-меняется при решении задач о росте банковского вклада по закону слож-ных процентов; использование понятия производной приводит к такой специальной дисциплине, как предельный анализ в экономике и т.д.

Проекции вектора на ось

Пусть в пространстве задана некоторая прямая  и единичный вектор .

Def 1. Осью  будем называть прямую, по которой задано направление. Направление оси задается вектором  (направляющий вектор оси).

Пусть  – точка непринадлежащая . Проведем через точку  плоскость ^. Получим точку , которая называется проекцией (ортогональной проекцией) точки  на ось . Обозначение: .

Если наряду с точкой  взять точку , то можно построить . Тройной интеграл. Задача о вычислении массы тела. Математика лекции и задачи

Def 2. Так построенный вектор  называется векторной проекцией вектора  на ось . Обозначают: .

Иногда говорят, что  есть компонента вектора  на оси .

Вектора  и  – коллинеарны Þ  .

Def 3. Такое число  называется скалярной проекцией (проекцией) вектора   на ось . Пишут: .

Таким образом .

Легко видеть, что , если ^.

Свойства проекции:

Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора  на косинус угла между вектором и осью:

.

 


Действительно, пусть .

Если   (см. рис. 1), то , поэтому

.

Если  (см. рис. 2), то , и

.

При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число:

.

Действительно, если , то l и .

Если , то   

Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых:

.

Действительно, это очевидно из следующих чертежей:

 


Следствие. Свойство (3) справедливо для " количества векторов.

Пример выполнения задания 6

Найти неопределенный интеграл, результат проверить дифференцированием:

а) .

Вычислим интеграл методом замены переменной. Пусть , продифференцируем обе части этого равенства

Получаем

Проверка:

  - верно.

б)

Используя свойства неопределенного интеграл, представим исходный интеграл в виде суммы двух интегралов, т.е.

.

Вычислим каждый интеграл отдельно.

Для первого интеграла положим   

Тогда

Для второго интеграла положим     , тогда

Получаем

.

Обычно все произвольные постоянные суммируют, а результат обозначают одной буквой, т.е. в нашем случае

Проверка:

  - верно.

Скалярное произведение векторов. Def 1. Скалярным произведением двух векторов  и  называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Свойства векторного произведения. Векторное произведение двух не нулевых векторов равно нулю Û вектора-сомножители коллинеарны.

Смешанное произведение векторов Пусть даны три вектора , , . Def 1. Смешанным произведением векторов называется произведение следующего вида: , т.е. вначале вектора  и  перемножаются векторно, а затем результат умножается скалярно на вектор .

Двойное векторное произведение Def 1. Двойное векторное произведение векторов , ,  это произведение вида . Выразим двойное векторное произведение через скалярное.

Примеры решения задач по аналитической геометрии на плоскости.

 

Уравнение прямой  привести к нормальному виду, получить уравнение прямой в отрезках и уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Решение.

а) Нормирующий множитель: . Умножая на него все слагаемые общего уравнения прямой, получаем: . Для данной прямой, следовательно, имеем: , , .

б) Для получения уравнения прямой в отрезках переносим свободный член вправо, и делим на него всё уравнение:

, , ;

в) Чтобы получить уравнение прямой с угловым коэффициентом, выразим из общего уравнения прямой у:

, .


Линейное пространство