Физика атомного реактора Сопротивление материалов Математика решение задач Информатика Атомная энергетика безопасность Электротехника и электроника Формулы Крамера.

Алгебра и аналитическая геометрия

Учебное пособие "Высшая математика" включает такие разделы выс-шей математики, изучение которых дает математический аппарат, наибо-лее активно применяемый для решения прикладных экономических и управленческих задач. Это аналитическая геометрия, линейная алгебра и математический анализ.

Деление многочленов.

Теорема 2. Пусть . Тогда

 и .

(1)

Доказательство. Пусть . Если , то можно положить . Если , то будем использовать тот же метод деления, что и для чисел. Пусть

и . Знакопеременные числовые ряды. Опр. Знакопеременным наз. числовой ряд составленный из положительных и отрицательных членов.

Положим . Тогда . Пусть  и . Если , то остановим процесс вычисления; если , то положим . Пусть ,  – старший коэффициент , и т.д. … Так как степени многочленов  убывают, то получим :  и . Процесс останавливается. Суммируя полученные ранее выражения, получаем:

.

Тогда , , т.е. получено требуемое представление (1).

Физические приложения тройных интегралов Масса и статические моменты тела Найти центроид однородного полушара радиусом R.

Докажем единственность.  Пусть  и . Тогда . Если , то (по лемме 1) , a противоречие .■

Определение 2. Если  и , то  называется остатком при делении  на .

Пример. .

Замечание. Из указанного в теореме 2 алгоритма деления с остатком следует, что если  и  – многочлены с действительными коэффициентами, то коэффициенты всех многочленов  а значит и коэффициенты  и  – действительные. Для целых коэффициентов это утверждение, очевидно, неверно.

Делители многочленов. Наибольший общий делитель.

Определение 3. Пусть . Если   , то говорят, что  делится на  или  делит , и пишут . Если  , то  означает, что остаток от деления равен . В этом случае многочлен  называется делителем многочлена .

Свойства (делимости многочленов). Пусть , , , , , . Тогда справедливы свойства:

1) Если , .

 Доказательство следует из равенства .

2) ,   .

 Доказательство. Так как ; так как

 . Тогда имеем

 .

3) ,   .

4)   .

 Доказательство.  . Тогда

 ; следовательно, .

5) Если , , то справедливо

 .

6) .

 Доказательство следует из равенства .

7)   имеем .

8) .

  Действительно, .

9) .

  Доказательство.

   и . Ho .

  и .

10) .

  Доказательство.

 Если   имеем .

Если   и по свойству 1) имеем (в силу свойства 9) .

  Следует из свойства 9.

11) Если , то  имеем .

Определение 4. Многочлен  называется общим делителем  и , если  и . Наибольшим общим делителем (НОД) двух многочленов   и  называется их делитель , который делится на любой другой их общий делитель.

Замечание. Ненулевая постоянная является общим делителем любых двух многочленов.

с помощью обратной матрицы:

Если обозначить

  - матрица коэффициентов при неизвестных,

  - столбец свободных членов,

  - столбец неизвестных,

то систему линейных уравнений можно записать в виде матричного уравнения

 .

Чтобы выразить Х из этого уравнения необходимо обе части этого уравнения умножить слева (!) на матрицу  (это возможно тогда и только тогда, когда А невырожденная, т.е. ):

 .

Используя свойства умножения матриц, получаем

  ,

 

 

Найдем матрицу  с помощью присоединенной матрицы, причем  существует, т.к. , т.е. . Для каждого элемента матрицы А найдем его алгебраическое дополнение:

,

,

 

 

Получили, что

 - присоединенная матрица,

,

  - обратная матрица.

Учитывая, что , имеем

,

т.е.  или 

Ответ:

Лемма 2. Если НОД двух многочленов  и  существует, то он определен с точностью до множителя . Доказательство. Пусть  и  – два НОД для  и   и  (по свойству 10) , для  и .

Взаимно простые многочлены. Определение 5. Многочлены  называют взаимно простыми, если их общие делители только многочлены нулевой степени.

Замечание1. Если с – корень кратности k для , то  и  т.е. . Наоборот, если  и  то с –корень кратности k многочлена

Определение 8. Построенный многочлен  называется интерполяционным многочленом Лагранжа, а (5) – интерполяционной формулой Лагранжа.

 Примеры решения задач по векторной алгебре.

 

Найти длину и направление вектора , если В(2,1,-1), С(3,-2,1).

Решение.

Вычислим координаты вектора , для чего вычтем из координат конца вектора (точка С) соответствующие координаты начала вектора (точка В): (3-2,-2-1,1- -1). Имеем (1,-3,2). Для определения длины воспользуемся формулой: , где x, y, z – соответствующие координаты. Тогда  ; .

Чтобы определить направление вектора, вычислим направляющие косинусы по формулам: ; ; . Для нашей задачи: ; ; .


Линейное пространство