Физика атомного реактора Сопротивление материалов Математика решение задач Информатика Атомная энергетика безопасность Электротехника и электроника Основы теории упругости и пластичности

Сопротивление материалов Задания и решения

Физические уравнения теории упругости дляизотропного тела. Обобщенный закон Гука

 Для получения полной системы уравнений, описывающих напряженное и деформированное состояние тела, необходимо располагать равенствами, связывающими напряжения и деформации. В эти равенства должны входить параметры, характеризующие физические свойства материалов. Поэтому они называются физическими уравнениями механики сплошной среды.

 Составим аналитическое выражение обобщенного закона Гука, справедливого для идеально упругого изотропного тела. Для этого воспользуемся принципом независимости действия сил. Рассмотрим раздельно силы, возникающие на гранях элементарного параллелепипеда (рис.10.1). При малых деформациях, действие касательных напряжений вызывает только формоизменение, а от действия нормальных напряжений происходит изменение линейных размеров выделенного элемента. Учитывая данное обстоятельство, для трех угловых деформаций получаем:

, (10.18)

где G-модуль сдвига материала.

  Линейная деформация по оси x, обусловленная напряжением sх, будет равна . Напряжениям sy, sz соответствуют деформации по оси x обратного знака, равные  и , соответственно (здесь m - коэффициент Пуассона). Следовательно

.

 Аналогично можно определить относительные удлинения ребер параллелепипеда (рис.10.1), перпендикулярных осям y и z. Записывая для ey и ez аналогичные уравнения окончательно получим:

 (10.19)

 Отсюда, получим выражение для объемной деформации

. (10.20)

 Полученные соотношения (10.18-10.19) являются аналитическим выражением обобщенного закона Гука для упругого изотропного тела.

Возможные способы решения задач теории упругости В общем случае искомыми величинами в задачах теории упругости являются функции перемещений, компоненты напряженного и деформированного состояний среды.

Теория предельных напряженных состояний При действии внешних сил материал конструкции может находиться в различных механических состояниях.

Плоская задача в декартовых координатах На практике различают два вида плоской задачи-плоскую деформацию и обобщенное плоское напряженное состояние.

Вычисление величин главных напряжений. Для решения приведенного уравнения применим формулу Кардано:

,

Проверка правильности вычисления главных напряжений: так как I1, I2 и I3-инварианты, значит их значения постоянны.

Дана прямоугольная невесомая пластина (рис.10.6), по кромкам которой действуют внешние силы, равномерно распределенные по ее толщине, равной единице/

Выяснить характер распределенных по кромкам пластины внешних сил, под действием которых имеет место данная система напряжений, и построить эпюры напряжений.

По полученным эпюрам напряжений, принимая их за эпюры распределенной внешней нагрузки, произвести проверку равновесия пластины. Выполним проверку равновесия пластины. Для этой цели найдем равнодействующие внешних сил, действующих по кромкам пластины (рис.10.8):

Нагрузки, приложенные к участкам больших размеров (например, к поверхности бруса на участке, составляющем существенную часть его длины), при составлении расчетной схемы нельзя заменять сосредоточенными силами. Такие нагрузки на расчетной схеме остаются распределенными по поверхности или приводятся к распределенным по линии. При неравномерном распределении сплошной нагрузки или при перемен- ной ширине загруженного участка соответствующая нагрузка на расчетной схеме является неравномерно распределенной. Нагрузки, распределенные по объему тела, наз. объемными силами [кГ/см3 и др.]. К внешним силам, действующим на элементы конструкции, кроме нагрузок – активных сил, относятся так же реакции связей – реактивные силы
Экспертные Основы теории пластичности