Физика атомного реактора Сопротивление материалов Математика решение задач Информатика Атомная энергетика безопасность Электротехника и электроника Внешние и внутренние силы

Сопротивление материалов Задания и решения

Главные оси и главные моменты инерции

 Рассмотрим, как изменяются моменты инерции плоского сечения при повороте осей координат из положения x и y к положению u и v. Из рис.3.5,б легко установить, что

u=ysina+xcosa;v=ycosa-xsina.  (3.10)

 Из выражений:

с учетом (3.10) после несложных преобразований получим:

 (3.11)

 Складывая первые два уравнения, получим: Расчеты на прочность и жесткость валов круглого и кольцевого сечений.

  Iu+Iv=Ix+Iy=Ir, (3.12)

где ; Ir-полярный момент инерции сечения, величина которого, как видно, не зависит от угла поворота координатных осей.

 Дифференцируя в (3.11) выражение Iu по a и приравнивая его нулю, находим значение a=a0, при котором функция Iu принимает экстремальное значение:

 . (3.13)

 С учетом (3.12) можно утверждать, что при a=a0 один из осевых моментов Iu или Iv будет наибольшим, а другой наименьшим. Одновременно при a=a0 Iuv обращается в нуль, что легко установить из третьей формулы (3.11).

 Декартовы оси координат, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями инерции. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными и определяются из (3.11) с учетом (3.13) и имеют вид:

 . (3.14)

 В заключение введем понятие радиуса инерции сечения относительно координатных осей x и y-ix и iy, соответственно, которые определяются по формулам:

 . (3.15)

 Для сечения, составленного из швеллера №20а, равнобокого уголка (80;80;8)10-9м3 и полосы (180;10)10-6м2 (рис.3.6) требуется:1.Найти общую площадь сечения; 2.Определить центр тяжести составного сечения;

Определить центр тяжести составного сечения. В качестве вспомогательных осей для определения положения центра тяжести примем горизонтальную и вертикальную оси xшв и yшв, проходящие через центр тяжести швеллера.

Найти положение главных центральных осей инерции. Угол наклона главных осей инерции, проходящих через центр тяжести составного сечения, к центральным осям инерции xC и yC определим по формуле: .

Пять правил метода начальных парамеров; 1)начало координат всегда помещаем в первую крайнюю левую точку точку оси бруса. Это начало оси Х для всех участков. 2)при составлении выражения М(х) всегда учитывают внешние силовые факторы расположенные слева от поперечного сечения разреза. 3)в выражении М(х) внешний момент МА умножают на скобку (х-а)0, где а –координата сечения в котором приложен момент МА
Экспертные Моменты инерции сечения