Физика атомного реактора Сопротивление материалов Математика решение задач Информатика Атомная энергетика безопасность Электротехника и электроника Определение опорных реакций

Сопротивление материалов Задания и решения

Рассмотрим условия, при которых происходит переход от центрально сжатого состояния к изогнутому, т.е. становится возможной криволинейная форма оси стержня при центрально приложенной сжимающей силе Р. Предполагая, что изгиб стержня будет происходить в плоскости минимальной жесткости, записывая дифференциальное уравнение упругой линии балки и ограничиваясь рассмотрением только малых перемещений, имеем:

 (7.2)

где Ix-минимальный момент инерции сечения.

 Для определения выражения изгибающего момента Mx(z), действующего в поперечном сечении стержня, расположенном на расстоянии z от начала системы координат, применяя метод сечений к системе, изображенной на рис.7.2 и рассматривая равновесие отсеченной части системы, расположенной левее от заданного сечения, получим:

. (7.3)

Рациональные формы сечений при кручении. Из двух сечений с одним и тем же полярным моментом сопротивления (или в случае некруглого сечения одним и тем же Wк), а следовательно, с одним и тем же допускаемым крутящим моментом, рациональным будет сечение с наименьшей площадью, т.е. обеспечивающее наименьший расход материала.

 При положительном прогибе в выбранной системе координат знак “минус” означает, что момент является отрицательным

 Введем следующее обозначение:

. (7.4)

 Тогда уравнение (7.2) преобразуется к виду:

. (7.5)

 Решение (7.5) записывается в виде:

. (7.6)

 Постоянные С1 и С2 определяются из граничных условий задачи:

y(0)=0;y(l)=0.

 Из первого условия вытекает, что С2=0, а из второго получается, что либо С1=0 (что нам неинтересно, т.к. в этом случае y(z)º 0), либо

sinkl=0. (7.7)

 Из (7.7) следует, что kl = pn, где n-произвольное целое число. Учитывая (7.4), получаем:

. (7.8)

 Это означает, что для того, чтобы центрально сжатый стержень принял криволинейную форму, необходимо, чтобы сжимающая сила была равна какому-либо значению з множества Рn по (7.8). Наименьшее из этих значений называется критической силой РKP и будет иметь место при n=1:

РKP=. (7.9)

 Эта сила носит название первой критической эйлеровой силы.

 Следовательно, согласно (7.6) при Р=РKP выражение прогибов можно записать в следующем виде:

. (7.10)

 Из (7.10) видно, что прогибаться стержень будет по синусоиде. Графики функций прогибов y(z) при различных n изображены на рис.7.3.

Рис.7.3

 Из (7.9) видно, что критическая с точки зрения устойчивости сила зависит от жесткости стержня и его длины, но никак не зависит от прочностных свойств материала стержня, т.е. два стержня одинаковой длины с идентичными граничными условиями их закрепления, изготовленных из различных материалов, но имеющих одинаковую изгибную жесткость, теряют устойчивость при одном и том же значении сжимающей силы. В этом заключается значительная разница между проверкой прочности стержня на сжатие и растяжение и проверкой на устойчивость.

  При изменении условий закрепления концов стержня необходимо решение дифференциального уравнения его изгиба, но уже в виде:

. (7.11)

 Анализ этих решений говорит о том, что все они могут быть представлены в следующем виде:

. (7.12)

где m-коэффициент приведения длины. Он показывает, во сколько раз следует изменить длину шарнирно опертого стержня, чтобы критическая сила для него равнялась бы критической силе стержня длиной l в рассматриваемых условиях закрепления. На рис.7.4 показано несколько видов закрепления стержня и указаны соответствующие значения коэффициента m.

Сосредоточенные - площадка, по которой передается нагрузка намного меньше по сравнению с размерами взаимодействующих тел [н], [кг] Погонная - распределена по линии (у площадки контакта один другого. [н/м], [кг/см] Давление - размеры площадки соизмеримы [н/м2]. Гипотезы относительно свойств материала Гипотезы относительно характера деформации; Перемещение точек тела, обусловленые его упругой деформацией, малы по сравнению с его размерами. Такие тела наз. линейно деформируемыми.
Экспертные Теории прочности